Integrace racionálních funkcí

Integrace racionálních funkcí se týká neurčitého integrálu tvaru $\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,\mathrm {d} x$, kde $P(x),Q(x)$ jsou polynomy.

Racionální funkci ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ je vždy možné rozložit na součet polynomu a ryze racionální lomené funkce. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků. Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce, která se však v nejobecnějším případě redukuje na řešení integrálu

$I_{1}=\int {\frac {A}{{(x-a)}^{n}}}\,\mathrm {d} x$

pro přirozené číslo $n\geq 1$ a $x\neq a$, a integrálu

$I_{2}=\int {\frac {Mx+N}{{(x^{2}+px+q)}^{n}}}\,\mathrm {d} x$

pro přirozené číslo $n\geq 1$, přičemž diskriminant D výrazu $x^{2}+px+q$ je záporný.

Pro integrál $I_{1}$ dostaneme pro $n=1$ aplikováním základních integračních vztahů výraz

$\int {\frac {A}{x-a}}\,\mathrm {d} x=A\ln {|x-a|}+C$

pro $x\neq a$.

Pro $n\geq 2$ pak pro $I_{1}$ ze základních vztahů plyne

$\int {\frac {A}{{(x-a)}^{n}}}\,\mathrm {d} x={\frac {A}{1-n}}{\frac {1}{{(x-a)}^{n-1}}}+C$

pro $x\neq a$.

Integrál $I_{2}$ pro $M=0,n=1$ lze převést na integrál $\int {\frac {\,\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}$ pomocí substituce

$x^{2}+px+q={(x+{\frac {p}{2}})}^{2}-({\frac {p^{2}}{4}}-q)=z^{2}+a^{2}$,

kde $z=x+{\frac {p}{2}}$ a $a^{2}=-({\frac {p^{2}}{4}}-q)=-D$. Pomocí základních integračních vztahů pak dostaneme

$\int N{\frac {\,\mathrm {d} x}{x^{2}+px+q}}=N\int {\frac {\,\mathrm {d} x}{{(x+{\frac {p}{2}})}^{2}-({\frac {p^{2}}{4}}-q)}}=$

$=N\int {\frac {\,\mathrm {d} z}{z^{2}+a^{2}}}={\frac {N}{a}}\operatorname {arctg} {\frac {z}{a}}+C={\frac {N}{\sqrt {-D}}}\operatorname {arctg} {\frac {x+{\frac {p}{2}}}{\sqrt {-D}}}+C$

Integrál $I_{2}$ pro $M\neq 0$ a $n=1$ upravíme tak, aby v čitateli byl (až na aditivní konstantu) násobek derivace jmenovatele, což umožňuje úpravu

$\int {\frac {kf^{\prime }(x)+A}{f(x)}}\,\mathrm {d} x=k\int {\frac {f^{\prime }(x)}{f(x)}}\,\mathrm {d} x+\int Af(x)\,\mathrm {d} x$

Řešení prvního integrálu lze najít podle základních integračních vztahů a druhý integrál je integrál typu $I_{2}$ pro $M=0,n=1$. Využijeme-li toho, že ${(x^{2}+px+q)}^{\prime }=2x+p$ a současně

$Mx+N={\frac {M}{2}}\left(2x+{\frac {2N}{M}}\right)={\frac {M}{2}}\left[(2x+p)+({\frac {2N}{M}}-p)\right],$

pak dostáváme řešení

$\int {\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}\,\mathrm {d} x={\frac {M}{2}}\int {\frac {2x+p}{x^{2}+px+q}}\,\mathrm {d} x+{\frac {M}{2}}({\frac {2N}{M}}-p)\int {\frac {\,\mathrm {d} x}{x^{2}+px+q}}=$

$={\frac {M}{2}}\ln {|x^{2}+px+q|}+AI$

kde $I$ je integrál typu $I_{2}$ pro $M=0,n=1$.

Integrál $I_{2}$ pro $M=0,n>1$ lze pomocí substituce $x-{\frac {p}{2}}=z,\,\mathrm {d} z=\,\mathrm {d} x$ a $-({\frac {p^{2}}{4}}-q)=a^{2}$ upravit na tvar

$K_{n}=\int {\frac {N\,\mathrm {d} x}{{(x^{2}+px+q)}^{n}}}=\int {\frac {N\,\mathrm {d} x}{{[{(x-{\frac {p}{2}})}^{2}-({\frac {p^{2}}{4}}-q)]}^{n}}}=N\int {\frac {\,\mathrm {d} z}{{(z^{2}+a^{2})}^{n}}}$

Řešíme-li poslední integrál metodou per partes, dostaneme rekurentní vztah

$K_{n+1}={\frac {z}{2na^{2}{(z^{2}+a^{2})}^{n}}}+{\frac {2n-1}{2na^{2}}}K_{n}$

pro $n\geq 1$. Řešení integrálu $K_{n}$ lze pak vyjádřit prostřednictvím integrálu $K_{1}$, což je však integrál typu $I_{2}$ pro $M=0,n=1$.

U integrálů $I_{2}$, u nichž je $M\neq 0,n>1$ použijeme $f(x)=x^{2}+px+q$. Čitatele lze pak vyjádřit ve tvaru $kf^{\prime }(x)+A$. Řešení má pak tvar

$\int {\frac {Mx+N}{{(x^{2}+px+q)}^{n}}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {kf^{\prime }(x)+A}{{[f(x)]}^{n}}}\,\mathrm {d} x=k\int {\frac {f^{\prime }(x)}{{[f(x)]}^{n}}}\,\mathrm {d} x+A\int {\frac {\,\mathrm {d} x}{{[f(x)]}^{n}}}=$

$={\frac {M}{2(1-n)}}{\frac {1}{{(x^{2}+px+q)}^{n-1}}}+K_{n}$,

kde $K_{n}$ je integrál vyjádřený pomocí dříve uvedeného rekurentního vztahu.

Při integraci racionální funkci tedy nejdříve vyjádříme tuto funkci jako součet polynomu, který lze ihned integrovat, a racionální lomené funkce, kterou rozložíme na parciální zlomky. Poté integrujeme parciální zlomky, čímž získáme celé řešení integrálu původní racionální funkce.