Integrace racionálních funkcí

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Integrace racionálních funkcí se týká neurčitého integrálu tvaru , kde jsou polynomy.

Racionální funkci je vždy možné rozložit na součet polynomu a ryze racionální lomené funkce. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků. Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce, která se však v nejobecnějším případě redukuje na řešení integrálu

pro přirozené číslo a , a integrálu

pro přirozené číslo , přičemž diskriminant D výrazu je záporný.

Pro integrál dostaneme pro aplikováním základních integračních vztahů výraz

pro .

Pro pak pro ze základních vztahů plyne

pro .


Integrál pro lze převést na integrál pomocí substituce

,

kde a . Pomocí základních integračních vztahů pak dostaneme

Integrál pro a upravíme tak, aby v čitateli byl (až na aditivní konstantu) násobek derivace jmenovatele, což umožňuje úpravu

Řešení prvního integrálu lze najít podle základních integračních vztahů a druhý integrál je integrál typu pro . Využijeme-li toho, že a současně

pak dostáváme řešení

kde je integrál typu pro .

Integrál pro lze pomocí substituce a upravit na tvar


Řešíme-li poslední integrál metodou per partes, dostaneme rekurentní vztah

pro . Řešení integrálu lze pak vyjádřit prostřednictvím integrálu , což je však integrál typu pro .

U integrálů , u nichž je použijeme . Čitatele lze pak vyjádřit ve tvaru . Řešení má pak tvar

,

kde je integrál vyjádřený pomocí dříve uvedeného rekurentního vztahu.

Při integraci racionální funkci tedy nejdříve vyjádříme tuto funkci jako součet polynomu, který lze ihned integrovat, a racionální lomené funkce, kterou rozložíme na parciální zlomky. Poté integrujeme parciální zlomky, čímž získáme celé řešení integrálu původní racionální funkce.