Funkce beth

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Funkce Beth pojmenovaná po druhém písmenu hebrejské abecedy zapisovaná rovněž jako je jedním ze způsobů zápisu určitých nekonečných kardinálních čísel v teorii množin.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Funkce Beth přiřazuje každému ordinálnímu číslu následujícím rekurzivním způsobem kardinální číslo :[1]

  • , kde je nejmenší nekonečný kardinál, viz Funkce alef.
  • pro izolovaný ordinál (tj. mohutnost potenční množiny ).
  • pro limitní ordinál .

Vztah k hypotézám kontinua[editovat | editovat zdroj]

  • Hypotéza kontinua je ekvivalentní s , tedy je mohutností potenční množiny spočetné množiny a tudíž rovna mohutnosti kontinua .
  • Zobecněná hypotéza kontinua je ekvivalentní s , tedy pro všechna ordinální čísla .

Vztah k limitním a nedosažitelným kardinálům[editovat | editovat zdroj]

Limitní kardinál se nazývá silně limitním, jestliže pro všechny kardinály .

  • Kardinál je silně limitní, právě když pro limitní ordinál .[2]

Platí pro všechna ordinální čísla . Lze ukázat, že funkce pevné body, tj. takové ordinály , pro než .

  • Nejmenším pevným bodem je přitom limita posloupnosti , tedy neformálně .
  • Zrovna tak jsou (silně) nedosažitelné kardinály pevnými body funkce .

Související články[editovat | editovat zdroj]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Thomas Jech: Set Theory. 3rd millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Kap. I.5, S. 55.
  2. W. Wistar Comfort, Stylianos Negrepontis: The Theory of Ultrafilters (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 211). Springer, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06604-7, Lemma 1.23.