Funkce beth

Funkce Beth pojmenovaná po druhém písmenu hebrejské abecedy zapisovaná rovněž jako $\beth$ je jedním ze způsobů zápisu určitých nekonečných kardinálních čísel v teorii množin.

Definice

Funkce Beth přiřazuje každému ordinálnímu číslu $\alpha$ následujícím rekurzivním způsobem kardinální číslo $\beth _{\alpha }$:

• $\beth _{0}=\aleph _{0}$, kde $\aleph _{0}$ je nejmenší nekonečný kardinál, viz Funkce alef.
• $\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}$ pro izolovaný ordinál $\alpha +1$ (tj. mohutnost potenční množiny $\beth _{\alpha }$).
• $\beth _{\lambda }=\sup _{\alpha <\lambda }\beth _{\alpha }$ pro limitní ordinál $\lambda$.

Vztah k hypotézám kontinua

• Hypotéza kontinua je ekvivalentní s $\aleph _{1}=\beth _{1}$, tedy $\beth _{1}$ je mohutností potenční množiny spočetné množiny a tudíž rovna mohutnosti kontinua $\mathbb {R}$.
• Zobecněná hypotéza kontinua je ekvivalentní s $\aleph =\beth$, tedy $\aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }$ pro všechna ordinální čísla $\alpha$.

Vztah k limitním a nedosažitelným kardinálům

Limitní kardinál $\kappa$ se nazývá silně limitním, jestliže $\mu ^{\lambda }<\kappa$ pro všechny kardinály $\lambda ,\mu <\kappa$.

• Kardinál $\kappa$ je silně limitní, právě když $\kappa =\beth _{\xi }$ pro limitní ordinál $\xi$.

Platí $\alpha \leq \aleph _{\alpha }\leq \beth _{\alpha }$ pro všechna ordinální čísla $\alpha$. Lze ukázat, že funkce $\beth$ má pevné body, tj. takové ordinály $\alpha$, pro než $\alpha =\beth _{\alpha }$.

• Nejmenším pevným bodem je přitom limita posloupnosti $\beth _{0},\beth _{\beth _{0}},\beth _{\beth _{\beth _{0}}},\ldots$, tedy neformálně $\beth _{\beth _{{}_{\ddots }}}$.
• Zrovna tak jsou (silně) nedosažitelné kardinály pevnými body funkce $\beth$.

Související články

• Funkce alef
• Funkce gimel

Odkazy

Reference

Portály: Matematika