Přeskočit na obsah

Faktorová grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Faktorová grupa neboli faktorgrupa nebo podílová grupa případně pod vlivem angličtiny kvocientní grupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.

Rozklady podle podgrupy

[editovat | editovat zdroj]
  • Levým rozkladem grupy podle podgrupy je množina

kde množiny se nazývají levé třídy rozkladu.

  • Pravým rozkladem grupy podle podgrupy je množina

kde množiny pravé třídy rozkladu.

Normální podgrupa

[editovat | editovat zdroj]

Podgrupa grupy je normální, značíme , pokud pro všechny platí .

Faktorgrupa

[editovat | editovat zdroj]

Jestliže je normální podgrupa grupy (symbolicky: ), můžeme na množině levých rozkladových tříd zavést grupovou operaci

.

Pak množina levých rozkladových tříd s touto operací tvoří opět grupu, která se nazývá faktorová grupa podle normální podgrupy a značí se .

Příklady

[editovat | editovat zdroj]
  • Je-li libovolná grupa s násobením, pak a jsou její normální podgrupy. Pro příslušné faktorové grupy platí a .
  • Množina všech násobků čísla je normální podgrupou aditivní grupy , faktorová grupa je isomorfní s grupou .

Hlavní věty o faktorových grupách

[editovat | editovat zdroj]

Nechť je homomorfizmus grup. Pak jádro Ker(f) je normální podgrupa G a definuje izomorfizmus grup

Nechť . Pak ke každému homomorfismu grup, pro který , existuje jediný homomorfismus takový, že (kde je projekce na ).

Nechť N a H jsou normální podgrupy G a N je podgrupa H. Pak N je normální podgrupa H, H/N je normální podgrupa G/N a platí

Související články

[editovat | editovat zdroj]

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha: Matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. Kapitola Grupy. 
  • MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett, 1973. Algebra. Bratislava: Alfa, vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry. 664 s. S. 138. (slovensky)