Distribuční funkce

Distribuční funkce, funkce rozdělení (pravděpodobnosti) nebo (spíše lidově) (zleva) kumulovaná pravděpodobnost (anglicky Cumulative Distribution Function, CDF) je funkce, která udává pravděpodobnost, že hodnota náhodné proměnné je menší než zadaná hodnota (nerovnost může být i neostrá).

Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení pravděpodobnosti a ve spojitém případě je úzce spjatá s funkcí hustoty pravděpodobnosti.

Definice

Nechť $X$ je náhodná proměnná z určitého rozdělení a $x$ je libovolné reálné číslo. Potom funkci $F:\mathbb {R} \to \langle 0,1\rangle$ definovanou předpisem

F(x)=\mathrm {Pr} [X\leq x]

nazýváme distribuční funkce tohoto rozdělení. V případě, že $X$ je spojitá náhodná proměnná s hustotou $f$ , potom platí:

F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.

Vlastnosti distribuční funkce

Popis	Matematická formulace
Distribuční funkce je zprava spojitá	$\lim _{x\to \alpha ^{+}}F(x)=F(\alpha )$
Distribuční funkce je neklesající	$\alpha <\beta \Rightarrow F(\alpha )\leq F(\beta )$
Asymptotické vlastnosti	$\lim _{x\to +\infty }F(x)=1$ $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$
Pro libovolnou dvojici $\alpha ,\beta$ platí	$\mathrm {Pr} [\alpha <x\leq \beta ]=F(\beta )-F(\alpha )$

Příklady

V následující tabulce jsou uvedeny příklady distribučních funkcí. Distribuční funkci není možné vždycky vyjádřit explicitním vzorcem, jako je tomu u normálního rozdělení. V tomto případě se používá přímo definice distribuční funkce ve spojitém případě jako funkce horní hranice.

Rozdělení	Distribuční funkce
Rovnoměrné rozdělení na intervalu $[\alpha ,\beta ]$	$F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0&x<\alpha \\{\frac {x-\alpha }{\beta -\alpha }}&x\in [\alpha ,\beta ]\\1&x>\beta \end{array}}\right.$
Normální rozdělení	$F(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int \limits _{-\infty }^{x}\exp \left\{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right\}$
Exponenciální rozdělení	$F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0&x<0\\1-\exp\{-\lambda x\}&x\geq 0\end{array}}\right.$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Distribučná funkcia (štatistika) na slovenské Wikipedii.

Související články