Chaitinovo číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Chaitinovo číslo, Ω, někdy také Chaitinova konstanta, je matematická konstanta definovaná

Součet je veden přes všechny konečné posloupnosti 0 a 1 takové, že univerzální Turingův stroj pro danou posloupnost na vstupu zastaví; je délka . Z Kraftovy nerovnosti plyne, že suma je omezená a tedy dokazatelně konverguje k reálnému číslu, pro nějž platí . Toto reálné číslo však nelze žádným algoritmem spočítat s přesností vyšší než striktně daný počet binárních míst; speciálně pak neexistuje algoritmus schopný hodnotu Chaitinova čísla libovolně aproximovat. Znalost hodnoty s dostatečnou přesností by totiž řešila problém zastavení, o němž Alan Turing dokázal, že je algoritmicky neřešitelný.

Chaitinovo číslo je tedy reálné číslo, pro nějž je matematicky dokazatelné, že jej nebudeme umět nikdy spočítat ani se k jeho hodnotě přiblížit nad určitou mez přesnosti.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Chaitinovo číslo je rovno limitě pravděpodobnosti, že univerzální Turingův stroj zastaví pro náhodně generovanou posloupnost délky nul a jedniček na vstupu, je-li tato generována jako iid z alternativního rozdělení s parametrem
  • Ve dvojkovém zápisu prvních znaků hodnoty se poměr 0 a 1 blíží . Odpovídající vlastnost platí rovněž pro zápis v soustavě s libovolným základem.
  • Obecněji jakákoli předem dané binární slovo se ve dvojkovém zápise vyskytuje s četností odpovídající jeho pravděpodobnosti při iid generování z alternativního rozdělení s parametrem . Vlastnost rovněž zůstává zachována také pro zápis v soustavě s libovolným základem ; pravděpodobnost je nutno přepočítat pro diskrétní rovnoměrné rozdělení s parametrem