Centrovaný systém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Centrovaný systém je matematický pojem z oboru teorie množin, týkající se konkrétně studia systémů podmnožin nějaké dané množiny.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že je množina podmnožin množiny (někdy se také říká, že je systém množin na ), tj. , kde je potenční množina množiny . O množině řekneme, že se jedná o centrovaný systém, pokud je průnik každé její konečné podmnožiny neprázdný:

Vlastnosti a příklady[editovat | editovat zdroj]

Triviální centrovaný systém[editovat | editovat zdroj]

Pokud má celý systém neprázdný průnik, pak je centrovaný - pro jeho libovolnou neprázdnou podmnožinu (nejen konečnou) platí

Netriviální centrovaný systém[editovat | editovat zdroj]

Otázka zní, zda existují i nějaké netriviální centrované systémy - tj. takové, že , ale přitom je systém (vzhledem ke konečným podmnožinám) centrovaný.

Uvažujme o nekonečném systému množin přirozených čísel
, kde je množina všech nenulových násobků čísla , tj.

Jedná se o centrovaný systém - vezmeme-li jakoukoliv jeho konečnou podmnožinu a určíme číslo jako nejmenší společný násobek indexů prvků této konečné podmnožiny (například pro je ), pak je (neprázdným) průnikem této podmnožiny.
Navíc se jedná o netriviální centrovaný systém - pokud by byl průnik celého systému neprázdný, pak by muselo existovat nějaké přirozené číslo a tím pádem by muselo mimo jiné být , což je nesmysl.

Vztah centrovaných systémů a filtrů[editovat | editovat zdroj]

Jedním z příkladů pro centrovaný systém jsou filtry. Filtr má nejen neprázdný průnik každé konečné podmnožiny - z podmínky, že filtr musí být dolů usměrněná množina dokonce plyne, že filtr musí sám v sobě obsahovat všechny průniky svých konečných podmnožin.

To pro centrovaný systém platit nemusí - například systém je centrovaný, ale rozhodně to není dolů usměrněná množina (neobsahuje totiž množinu . Stejně tak nemusí centrovaný systém obsahovat s každou svou množinou i každou její nadmnožinu - nemusí to tedy být horní množina, kdežto filtr ano. To znamená, že zdaleka ne každý centrovaný systém je filtrem.

Na druhou stranu lze každý centrovaný systém rozšířit do nějakého filtru na množině . Snadno lze ukázat, že množina

je nejmenší filtr na , který v sobě obsahuje .

Výše uvedený zápis vypadá sice hrůzostrašně, ale říká v podstatě toto:

  1. Vezmu centrovaný systém .
  2. Přidám k němu všechny průniky jeho konečných podmnožin (čímž dostanu dolů usměrněnou nadmnožinu ).
  3. K výsledku pak přidám pro každý její prvek i všechny jeho nadmnožiny (čímž dostanu horní nadmnožinu , která je stále dolů usměrněná, takže výsledek je filtr).

Hlavní věta o ultrafiltrech[editovat | editovat zdroj]

Úvaha provedená v předchozím odstavci vlastně neříká nic jiného, než že každý centrovaný systém lze rozšířit (přidáním dalších množin) na filtr. Pokud tento poznatek zkombinuji s tím, že každý filtr lze (podle principu maximality rozšířit do ultrafiltru, dostávám tvrzení nazývané v teorii množin hlavní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.

Související články[editovat | editovat zdroj]