Bolzanova–Weierstrassova věta

Bolzanova–Weierstrassova věta je základní matematické tvrzení o konvergenci posloupností v konečném euklidovském prostoru $\mathbb {R} ^{n}$. Věta říká, že každá nekonečná omezená posloupnost v $\mathbb {R} ^{n}$ obsahuje konvergentní vybranou posloupnost. (Jinými slovy lze z každé omezené posloupnosti čísel nebo konečněrozměrných vektorů vybrat posloupnost, která konverguje k nějakému pevnému číslu nebo vektoru.) Ekvivalentní formulace říká, že podmnožina $\mathbb {R} ^{n}$ je sekvenčně kompaktní právě tehdy, když je uzavřená a omezená. Tvrzení se proto někdy nazývá věta o sekvenční kompaktnosti.

Bolzanova–Weierstrassova věta je pojmenována po matematicích Bernardu Bolzanovi a Karlu Weierstrassovi. Poprvé ji dokázal český teolog a matematik Bolzano v roce 1817 jako lemma v rámci důkazu věty o střední hodnotě. O zhruba padesát let později byl výsledek rozpoznán jako významný sám o sobě a německý matematik Weierstrass jej dokázal znovu. Od té doby se stal základní větou matematické analýzy.

Důkaz

Nejprve dokážeme větu pro $\mathbb {R} ^{1}$ (množinu všech reálných čísel), přičemž využijeme fakt, že $\mathbb {R} ^{1}$ je uspořádaná množina (čísla lze seřadit podle velikosti). Pak tvrzení zobecníme na vyšší rozměry.

Lemma: Z každé nekonečné posloupnosti $(x_{n})$ v $\mathbb {R} ^{1}$ lze vybrat monotónní (tj. buď neklesající anebo nerostoucí) posloupnost.

Důkaz: Označme kladný celočíselný index $n$ sekvence jako vrchol sekvence, pokud $x_{m}\leq x_{n}$ pro každé $m>n$ (tj. všechny členy následující po vrcholu jsou menší nebo rovny členu s indexem vrcholu). Předpokládejme nejprve, že posloupnost má nekonečně mnoho vrcholů, což znamená, že existuje vybraná posloupnost těchto vrcholů $n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dots <n_{j}<\dots$ s hodnotami $x_{n_{1}}\geq x_{n_{2}}\geq x_{n_{3}}\geq \dots \geq x_{n_{j}}\geq \dots$ . Takže nekonečná posloupnost $(x_{n})$ v $\mathbb {R} ^{1}$ obsahuje nerostoucí, a tedy monotónní posloupnost. Pokud naopak vrcholů je nanejvýš konečně mnoho, tak existuje $N$ jako nevyšší vrchol (není-li v posloupnosti vůbec žádný vrchol, položíme $N$ rovno jedné) a budeme vytvářet vybranou posloupností $(x_{n_{j}})$, kde $n_{1}=N+1$. Jelikož $n_{1}$ není vrchol (protože $n_{1}$ následuje po nejvyšším vrcholu), tak musí existovat $n_{2}$ tak, že $n_{1}<n_{2}$ a $x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}$. Ani $n_{2}$ není ze stejného důvodu vrchol, proto existuje $n_{3}$, kde $n_{2}<n_{3}$ s $x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}$. Opakování tohoto procesu vede k nekonečné neklesající posloupnosti $x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots$ To dokazuje, že z každé nekonečné posloupnosti $(x_{n})$ v $\mathbb {R} ^{1}$ lze vybrat monotónní posloupnost. Tím je lemma dokázáno.

Pokud jsme vybírali z omezené posloupnosti, je vybraná monotónní posloupnost rovněž omezená. Z věty o monotónní konvergenci pak vyplývá, že tato monotónní posloupnost konverguje. Tím jsme Bolzanovu–Weierstrassovu větu dokázali pro $\mathbb {R} ^{1}$.

Obecný případ $\mathbb {R} ^{n}$ lze redukovat na $\mathbb {R} ^{1}$ takto: Nechť je dána omezená posloupnost v $\mathbb {R} ^{n}$. Posloupnost prvních souřadnic je omezená reálná posloupnost, má tedy konvergentní podposloupnost. Z té pak lze vybrat posloupnost, na které konverguje druhá souřadnice, a tak dále, dokud nakonec nevybereme posloupnost, na které konverguje všech $n$ souřadnic — což je stále posloupnost vybraná z původní posloupnosti. Tím je důkaz dokončen.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bolzano–Weierstrass theorem na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Bolzanova–Weierstrassova věta na Wikimedia Commons

Literatura

• BARTLE, Robert G.; SHERBERT, Donald R. Introduction to Real Analysis. 3. vyd. New York: J. Wiley, 2000. Dostupné online. ISBN 9780471321484. 
• FITZPATRICK, Patrick M. Advanced Calculus. 2. vyd. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2006. ISBN 0-534-37603-7. 

Portály: Matematika