Absolutně spojitá funkce

Absolutní spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Definice

Funkci $f(x)$ označíme jako absolutně spojitou na intervalu $\langle a,b\rangle$ , jestliže k libovolnému $\varepsilon >0$ existuje takové $\delta >0$ , že pro každý systém intervalů $\langle a_{1},b_{1}\rangle ,\langle a_{2},b_{2}\rangle ,\,\dots ,\langle a_{n},b_{n}\rangle$ , pro který je $a\leq a_{1}\leq b_{1}\leq a_{2}\leq b_{2}\leq \cdots \leq a_{n}\leq b_{n}\leq b$ , a $\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})<\delta$ platí $\sum _{i=1}^{n}|f(b_{i})-f(a_{i})|<\varepsilon$ .

Prostor všech absolutně spojitých funkcí na intervalu $\langle a,b\rangle$ značíme $AC(a,b)$

Příklady

Spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je spojitá, ale není absolutně spojitá.
Stejnoměrná spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá.
$f(x)=x$ je absolutně spojitá.

Ekvivalentní definice

$f$ je absolutně spojitá na $\langle a,b\rangle$ právě tehdy, když

$f\in L^{1}(a,b)$ je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
$\exists g\in L^{1}(a,b)$ taková, že $f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in (a,b)$
$\exists h\in L^{1}(a,b)$ taková, že $|f(d)-f(c)|\leq \int _{c}^{d}h(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall \langle c,d\rangle \subset \langle a,b\rangle$

Vlastnosti

Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
Každá lipschitzovská funkce je absolutně spojitá
Absolutně spojitá funkce f má derivaci skoro všude a platí: $f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in \langle a,b\rangle$
pokud $f\in L^{1}(a,b)$ a $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {dt}$ , pak $F$ je absolutně spojitá na $\langle a,b\rangle$

Související články