Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Vandermondova matice , pojmenovaná po Alexandru-Théophilovi Vandermondovi , je matematický termín označující matici , která v každém řádku obsahuje po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti počínaje jedničkou, tedy matici
V
=
[
1
α
1
α
1
2
…
α
1
n
−
1
1
α
2
α
2
2
…
α
2
n
−
1
1
α
3
α
3
2
…
α
3
n
−
1
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
α
m
α
m
2
…
α
m
n
−
1
]
{\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\\\end{bmatrix}}}
neboli matici, kde lze prvek na pozici i ,j vyjádřit předpisem
V
i
,
j
=
α
i
j
−
1
{\displaystyle V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}}
V případě čtvercové Vandermondovy matice je možné počítat její determinant , ten je roven
det
(
V
)
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
α
j
−
α
i
)
.
{\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i}).}
Tento determinant bývá označován Vandermondův determinant .
Čtvercová Vandermondova matice je regulární, právě když hodnoty
α
1
.
.
.
α
m
{\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{m}}
jsou různé.
Využití Vandermondovy matice
Vandermondova matice se používá např. v případech, kdy známe množinu bodů (tj. kořeny
x
1
.
.
.
x
n
+
1
{\displaystyle x_{1}...x_{n+1}}
a hodnoty
y
1
.
.
.
y
n
+
1
{\displaystyle y_{1}...y_{n+1}}
) a potřebujeme zjistit polynom, který jimi prochází (tj. koeficienty
α
0
.
.
.
α
n
{\displaystyle \alpha _{0}...\alpha _{n}}
). Řešíme následující soustavu:
[
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
1
x
2
x
2
2
…
x
2
n
1
x
3
x
3
2
…
x
3
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
+
1
x
n
+
1
2
…
x
n
+
1
n
]
⋅
[
α
0
α
1
α
2
⋮
α
n
]
=
[
y
1
y
2
y
3
⋮
y
n
+
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\dots &x_{3}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n+1}&x_{n+1}^{2}&\dots &x_{n+1}^{n}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\alpha _{0}\\\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{n}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\\vdots \\y_{n+1}\\\end{bmatrix}}}
Diskrétní Fourierova transformace (a její inverze) se dají zapsat jako násobení vstupního vektoru délky
n
{\displaystyle n}
konkrétní Vandermondovou maticí z
C
n
×
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}
. Hodnoty
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
v definici V. matice jsou komplexní odmocniny z 1 . Při značení z předchozího příkladu počítá DFT hodnoty
y
i
{\displaystyle y_{i}}
jako hodnoty polynomu s (komplexními) koeficienty
α
0
…
α
n
−
1
{\displaystyle \alpha _{0}\dots \alpha _{n-1}}
v bodech
x
i
{\displaystyle x_{i}}
, kde
x
i
=
ω
n
i
−
1
,
i
=
1
…
n
{\displaystyle x_{i}=\omega _{n}^{i-1},i=1\dots n}
pro zvolenou
ω
n
{\displaystyle \omega _{n}}
, tj.
n
{\displaystyle n}
-tou primitivní odmocninu z 1.