Limitní ordinál
Limitní ordinál je ordinální číslo, které nemá předchůdce a není prázdné.
Definice
Ordinální číslo je limitní, pokud
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.
Příklady
Množina všech přirozených čísel je limitní - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem ve smyslu výše uvedené definice.
Podobně množina je limitní.
Naproti tomu ordinály nejsou limitní. 0 není limitní z definice a ostatní mají předchůdce . Takovým ordinálům říkáme izolované.
Použití
Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.
Limitní ordinály mají některé zajímavé vlastnosti, které nemají izolované ordinály:
- Množina všech vlastních podmnožin limitního ordinálu nemá největší prvek, ale má supremum - je to tedy tak trochu obdoba shora otevřeného intervalu v reálných číslech.
- Pouze limitní ordinál může být kardinálním číslem.