Lindenbaumova algebra
Lindenbaumova algebra (také Lindenbaum-Tarského algebra) je pojem z oblasti matematické logiky. Slouží k vyjádření struktury množiny formulí co se týče jejich dokazatelnosti v nějaké formální teorii.
Definice
Lindenbaumovy algebry teorie
Nechť T je bezesporná teorie v jazyce L a m je přirozené číslo. Pro formule jazyka L mající právě m volných proměnných definujeme , pokud v T je dokazatelné . Označíme množinu všech tříd ekvivalence . m-tá Lindenbaumova algebra teorie T je Booleova algebra s nosnou množinou a operacemi definovanými následovně:
- , kde je nějaká formule s m-volnými proměnnými.
- , kde je nějaká formule s m-volnými proměnnými.
![{\displaystyle [\varphi ]_{\sim }\land [\psi ]_{\sim }=[\varphi \land \psi ]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a756eb86b1e1400991bd479ab46269628db25182)
![{\displaystyle [\varphi ]_{\sim }\vee [\psi ]_{\sim }=[\varphi \vee \psi ]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfb56a27252059400ed3dc3504d2387f21ba5dc)
![{\displaystyle -[\varphi ]_{\sim }=[\neg \varphi ]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448927c9d33f1711c325c0b99a9ce3d6be12b659)
![{\displaystyle 0=[\varphi \land \neg \varphi ]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb94c9e2631a27f02aaeb71838dc4680a90ffcbb)
![{\displaystyle 1=[\varphi \vee \neg \varphi ]_{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6389965b9924c582d20c9759390118a771e84b)
Lindenbaumovy algebry jazyka
m-tou Lindenbaumovu algebru jazyka L definujeme jako m-tou Lindenbaumovu algebru teorie v jazyce L, která nemá žádné vlastní (tj. mimologické) axiomy.
Vlastnosti
- 0-tá Lindenbaumova algebra teorie T je dvouprvková, právě když je T úplná teorie.
- Formule je nedokazatelná v T, právě když .
- Formule je nevyvratitelná v T, právě když .
