Iterační metoda

Ve výpočtové matematice je iterační metoda proces, který z počáteční aproximace konstruuje posloupnost přibližných řešení daného problému. Každá iterace přibližného řešení je konstruována z iterací předchozích.

Iterační metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic

Pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic existují dvě hlavní skupiny iteračních metod – stacionární iterační metody a metody Krylovových podprostorů.

Stacionární iterační metody

Základní stacionární iterační metody vycházejí ze štěpení příslušné matice soustavy na ${\displaystyle A=M-N}$, přičemž matice $M$ musí být jednoduše invertovatelná. Novou iteraci přibližného řešení spočítáme z předchozího jako $\displaystyle x_{k+1}=M^{-1}(Nx_{k}+b)\,.$ Přesné řešení soustavy je pak pevným bodem tohoto zobrazení.

Metody Krylovových podprostorů

Metody Krylovových podprostorů jsou projekční metody založené na hledání přibližného řešení v Krylovových podprostorech rostoucí dimenze, tj. $x_{k}\in x_{0}+{\text{span}}\{r_{0},Ar_{0},\ldots ,A^{k-1}r_{0}\}$. Jednoznačnost tohoto přibližného řešení $x_{k}$ dosáhneme dodatečnými podmínkami na příslušné residuum $r_{k}=b-Ax_{k}$. Zpravidla požadujeme buď minimalitu residua v eukleidovské normě, nebo ortogonalitu residua na prostor, ve kterém hledáme aproximaci $x_{k}$. Požadujeme-li ortogonalitu residua na prostor, na kterém hledáme přibližné řešení, jedná se o tzv. Galerkinovu metodu.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku iterative method na anglické Wikipedii.

Autoritní data	GND: 4123457-1 LCCN: sh85069058 NLI: 987007565689305171