Subdeterminant

Mějme čtvercovou matici $\mathbf {A} _{ij}$, kterou získáme z matice $\mathbf {A}$ odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce. Determinant matice $\mathbf {A} _{ij}$, tzn. $\det \mathbf {A} _{ij}$ nazýváme subdeterminantem (též minorem) příslušným k prvku $a_{ij}$ matice $\mathbf {A}$.

Algebraický doplněk

Algebraickým doplňkem nebo také kofaktorem nazýváme číslo

$A_{ij}={(-1)}^{i+j}{\det \mathbf {A} _{ij}}$

Výpočet determinantu rozvojem podle řádků (sloupců)

Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu n-tého řádu. Pro libovolné (pevně dané) i lze determinant matice $\mathbf {A}$ vyjádřit pomocí algebraických doplňků jako

$\det \mathbf {A} =\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$

Tento postup je označován jako rozvoj (rozklad) determinantu podle $i$-tého řádku.

Ekvivalentně lze determinant vyjádřit rozvojem (rozkladem) podle $j$-tého sloupce.

$\det \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$

Počítačový algoritmus

V programování lze velmi dobře využít metodu subdeterminantů pro výpočet determinantů čtvercové matice libovolného rozměru za pomocí rekurze.

Příklad kódu v jazyce Java:

public int determinant(int[][] m) {
	int n = m.length;
	if(n == 1) {
		return m[0][0];
	} else {
		int det = 0;
		for(int j = 0; j < n; j++) {
			det += Math.pow(-1, j) * m[0][j] * determinant(minor(m, 0, j));
		}
		return det;
	}
}

public int[][] minor(final int[][] m, final int i, final int j) {
	int n = m.length;
	int[][] minor = new int[n - 1][n - 1];
	int r = 0, s = 0;
	for(int k = 0; k < n; k++) {
		int[] row = m[k];
		if(k != i) {
			for(int l = 0; l < row.length; l++) {
				if(l != j) {
					minor[r][s++] = row[l];
				}
			}
			r++;
			s = 0;
		}
	}
	return minor;
}

Související články

• Adjungovaná matice
• Determinant

Portály: Matematika