Sinus

Graf funkce sinus

Sinus α v jednotkové kružnici

Sinus je goniometrická funkce. V pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr protilehlé odvěsny a přepony. Pro označení této funkce se obvykle používá zkratka sin a jejím grafem je sinusoida. Je definována buď na oboru reálných čísel anebo šířeji na oboru komplexních čísel.

Sinus na jednotkové kružnici

Sinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): pokud poloměr jednotkové kružnice svírá s osou x úhel α, je sin α vzdálenost koncového bodu tohoto poloměru od osy x, jinak řečeno, délka kolmice spuštěné z tohoto bodu na osu x. Délka úsečky z počátku k patě této kolmice se rovná cos α. Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže také platí:

(sin α)² + (cos α)² = 1

Na jednotkové kružnici je také vidět, že sinus je v prvním a druhém kvadrantu nezáporný (≥ 0), kdežto ve třetím a čtvrtém nekladný (≤ 0). V prvním a čtvrtém kvadrantu je rostoucí, ve druhém a třetím klesající.

Sinus v reálném oboru

Reálná funkce reálné proměnné $y=\sin x$ má následující vlastnosti (kde $k$ je libovolné celé číslo):

• Definiční obor: $\mathbb{R}$ (reálná čísla)
• Obor hodnot: $\langle-1;1\rangle$
• Rostoucí: v každém intervalu $\textstyle\left(-\frac{1}{2}\pi+2k\pi; \frac{1}{2}\pi+2k\pi\right)$
• Klesající: v každém intervalu $\textstyle\left(\frac{1}{2}\pi+2k\pi; \frac{3}{2}\pi+2k\pi\right)$
• Maximum je $1$ (v bodech $\textstyle x=\frac{1}{2}\pi+2k\pi$)
• Minimum je $-1$ (v bodech $\textstyle x=-\frac{1}{2}\pi+2k\pi$)
• Derivace: $y'=\cos x\,\!$
• Primitivní funkce: $\int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + c, c \in\mathbb{R}$
• Taylorova řada: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• Inverzní funkce (na intervalu $\langle -1;1\rangle$ a oborem hodnot obvykle stanoveným na $\langle -\frac{1}{2}\pi;\frac{1}{2}\pi\rangle$): arkus sinus (arcsin)
• Sinus je funkce:
  • lichá
  • omezená shora i zdola
  • periodická s periodou $2k\pi$

Sinus v komplexním oboru

Funkce sinus je v komplexních číslech definována součtem řady

$\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!},$

která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá komplexní čísla $z$, $z_1$ a $z_2$ platí:

$\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$

$\sin\left(z_1+z_2\right)=\sin z_1 \cos z_2 + \cos z_1 \sin z_2,$

$\sin iz = i \sinh z.\,$

Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Sinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.

Související články

• Sinová věta
• Kosinus

Externí odkazy

• Sinus v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Vzorce obsahující sinus na functions.wolfram.com (anglicky)