Schwedlerova věta

Schwedlerova věta udává vztah mezi ohybovým momentem a posouvající (smykovou, příčnou) silou, jež představují staticky ekvivalentní náhradu napětí působících v libovolném průřezu ohýbaného přímého nosníku. Věta je připisována německému stavebnímu inženýrovi Johannu Wilhelmu Schwedlerovi, který ji publikoval v roce 1851. Schwedlerova věta se užívá při vyšetřování namáhání nosníků. Schwedlerova věta se také někdy nazývá Schwedler-Žuravského věta.

Odvození

Zatížení elementu nosníku – znaménková konvence

Schwedlerova věta popisuje statickou momentovou rovnováhu části nosníku vymezené dvěma průřezy, jejichž vzdálenost se limitně blíží nule:

$(M+\mathrm {d} M)-M-Q\mathrm {d} x+q{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{2}}=0\,,$

kde $M$ a $Q$ představují velikost momentové a silové výslednice napětí působících po průřezu nosníku, $q$ je velikost spojitého příčného zatížení nosníku, $x$ označuje polohu průřezu nosníku po délce nosníku a $\mathrm {d}$ je označení diferenciálu. Protože člen $q{\tfrac {\mathrm {d} x^{2}}{2}}$ je zanedbatelně malý vzhledem ke zbývajícím členům rovnice momentové rovnováhy, lze psát

$\mathrm {d} M-Q\mathrm {d} x=0\,,$

respektive

${\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}=Q\,.$

(1)

Poslední vztah se označuje jako Schwedlerova věta. Vyplývá z něj, že ohybový moment nabývá extrémních hodnot v místech, kde je posouvající síla $Q$ nulová.

Na základě podmínky statické rovnováhy pro příčné zatížení nosníku

$(Q+\mathrm {d} Q)-Q+q\mathrm {d} x=0$

pro posouvající sílu platí

${\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}=-q\,,$

(2)

a Schwedlerovu větu pak lze vyjádřit ve tvaru

${\frac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} x^{2}}}=-q\,.$

(3)

Osové zatížení elementu nosníku – znaménková konvence

Pojem Schwedlerova věta se někdy používá pro vztahy (1) – (3), popřípadě ještě pro vztah mezi osovou silou $N$ a spojitým osovým zatížením $n$, který lze odvodit z podmínky silové rovnováhy ve směru osy nosníku:

${\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} x}}=-n\,.$

Odvození pro nosník na pružném podkladu

Odkaz na odvození Schwedlerových vět pro nosníky na pružném podkladu.

Historie

Schwedlerova kresba užitá při odvození vztahu (4).

Odvození vztahu lze najít v první části Schwedlerovy práce o teorii nosníkových mostních konstrukcí publikovaná v roce 1851, byť v odlišném tvaru :

${\frac {\mathrm {d} \displaystyle \sum \limits _{i}X_{i}y_{i}}{\mathrm {d} x}}=\sum \limits _{i}Y_{i}\,,$

(4)

kde $X_{i}$ jsou normálové vnitřní síly působící po výšce průřezu, $Y_{i}$ jsou smykové vnitřní síly působící po výšce průřezu a $y_{i}$ jsou vzdálenosti působišť sil od spodní strany nosníku. Schwedler při odvození postupoval tak, že nejprve rozdělil nosník myšleným řezem na dvě části, potom sepsal podmínku rovnováhy jedné části nosníku a derivací této podmínky podle $x$ dospěl k výše uvedenému vztahu (4).

Zmínku o tom, že Schwedler byl první, kdo poukázal na vztah mezi derivací ohybového momentu a posouvající silou, lze najít v knize Der Bau der Brückenträger z roku 1857. Karl Pearson v knize A History of the Theory of Elasticity and of the Strength of Materials z roku 1893 toto tvrzení zpochybnil. Pearson však neuvedl, kdo s tímto vztahem přišel před Schwedlerem. Stěpan Prokofjevič Timošenko, profesor inženýrské mechaniky na Stanfordově univerzitě , ve své knize History of Strength of Materials z roku 1953 tvrdí, že se nenašel dřívější zmínku o Schwedlerem odvozeném vztahu.