Redukce řádu

Redukce řádu je v matematice technika pro řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu. Používá se, když známe jedno řešení $y_{1}(x)$, a potřebujeme najít druhé lineárně nezávislé řešení $y_{2}(x)$. Metodu lze použít i pro rovnice n-tého řádu. V tomto případě lze kvalifikovaným odhadem získat rovnici (n-1)-ho řádu pro $v$.

Obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu

Příklad

Uvažujme obecnou homogenní lineární obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty

$ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0,\;$

kde $a,b,c$ jsou reálné nenulové koeficienty, Navíc budeme předpokládat, že její charakteristická rovnice

$a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0\;$

má vícenásobný kořen (tj., že diskriminant $b^{2}-4ac$ se rovná 0). Z toho plyne

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=-{\frac {b}{2a}}.$

Tedy jedno řešení původní diferenciální rovnice je

$y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x}.$

Budeme hledat druhé řešení ve tvaru

$y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)\;$

kde $v(x)$ je hledaná funkce. Protože $y_{2}(x)$ musí vyhovovat původní obyčejné diferenciální rovnici, dosadíme řešení do rovnice a dostaneme

$a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+cvy_{1}=0.$

Přeskládáním členů podle řádu derivace $v(x)$ dostaneme

$\left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+cy_{1}\right)v=0.$

Protože víme, že $y_{1}(x)$ je řešením původní úlohy, koeficient posledního termu se rovná nule. Navíc substitucí $y_{1}(x)$ do koeficientu druhého termu dostaneme (pro tento koeficient)

$2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0.$

Takže dostáváme

$ay_{1}v''=0.\;$

Protože $a$ je nenulové (aby původní rovnice byla druhého řádu) a $y_{1}(x)$ je exponenciální funkce, která nikdy nenabývá hodnoty nula, jednoduše dostáváme

$v''=0.\;$

Dvojí integrací dostaneme

$v(x)=c_{1}x+c_{2}\;$

kde $c_{1},c_{2}$ jsou integrační konstanty. Nyní můžeme druhé řešení zapsat jako

$y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x).\;$

Protože druhý term v $y_{2}(x)$ je skalárním násobkem prvního řešení (a je tedy lineárně závislý), můžeme tento term zahodit, což dává výsledné řešení

$y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}.$

Navíc můžeme dokázat, že druhé řešení $y_{2}(x)$ nalezené touto metodou je lineárně nezávislé na prvním řešení výpočtem Wronskiánu

$W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{a}}x}\neq 0.$

Tedy $y_{2}(x)$ je druhé lineárně nezávislé řešení, které jsme hledali.

Obecná metoda

Je-li dána obecná nehomogenní lineární diferenciální rovnice

$y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)\,$

a jedno řešení $y_{1}(t)$ homogenní rovnice [$r(t)=0$], zkusíme hledat řešení plné nehomogenní rovnice ve tvaru:

$y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,$

kde $v(t)$ je libovolná funkce. Tedy

$y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,$

a

$y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,$

Jestliže tyto jsou dosadíme za $y$, $y'$ a $y''$ v diferenciální rovnici, pak

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t).$

Protože $y_{1}(t)$ je řešení původní homogenní diferenciální rovnice, $y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0$, můžeme se omezit na

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)$

což je diferenciální rovnice prvního řádu pro $v'(t)$ (redukce řádu). Vydělením výrazem $y_{1}(t)$ dostaneme

$v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}$.

Integrační faktor: $\mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))\mathrm {d} t}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)\mathrm {d} t}$.

Znásobením diferenciální rovnice integračním faktorem $\mu (t)$ lze rovnici pro $v(t)$ redukovat na

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)\mathrm {d} t})=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)\mathrm {d} t}$.

Zintegrováním poslední rovnice dostaneme $v'(t)$ obsahující jednu integrační konstantu. Dalším zintegrováním $v'(t)$ dostaneme obecné řešení původní nehomogenní rovnice druhého řádu, které obsahuje dvě integrační konstanty, jak je očekáváno:

$y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t)\,$.

Související články

• Variace konstant

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Reduction of order na anglické Wikipedii.

• W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
• TESCHL, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society, 2012. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-8328-0. ^{[nedostupný zdroj]}
• Eric W. Weisstein, Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution, From MathWorld—A Wolfram Web Resource.