Pythagorejské ladění

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Pythagorejské ladění je v hudbě způsob ladění, odvozený od intervalu čisté kvinty s poměrem frekvencí 3:2.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Za tvůrce pythagorejského ladění je pokládán řecký filosof a matematik Pythagoras. Je však pravděpodobné, že systém ladění založený na číselném poměru 3:2 znali již Babyloňané a před nimi Sumerové. V Číně popsal tento typ ladění Ling Lun již kolem roku 2000 př. n. l.

Princip[editovat | editovat zdroj]

V pythagorejském ladění jsou všechny tóny oktávy získány postupnými kvintovými kroky.

Má-li základní tón relativní frekvenci 1, má o kvintu vyšší tón frekvenci 3:2. Tón o další kvintu vyšší má frekvenci (3:2)×(3:2)=9:4. Tón o kvintu nižší než základní tón má frekvenci 2:3, tón o další kvintu nižší má frekvenci (2:3)×(2:3)=4:9. Dvěma kvintovými kroky nahoru a dolů získáme tedy 5 tónů s frekvencemi 4:9, 2:3, 1:1, 3:2 a 9:4.

Tón 9:4 leží výše než oktáva k základnímu tónu (9:4 je větší než 2:1). Snížíme ho proto o oktávu (frekvenci vydělíme dvěma) a získáme tón s frekvencí 9:8. Podobně o jednu oktávu zvýšíme tón 2:3, ležící pod základním tónem, a dostaneme tón s frekvencí 4:3. Nejnižší tón zvýšíme o dvě oktávy a získáme tón 16:9. Nová řada v rozsahu oktávy tvoří pětitónovou stupnici - pentatoniku: 1:1, 9:8, 4:3, 3:2 a 16:9.

V oktávě máme tyto intervaly:

Relativní frekvence Interval
1 prima
9:8 velká sekunda
4:3 čistá kvarta
3:2 čistá kvinta
16:9 malá septima
2:1 oktáva

Mezi sousedními tóny jsou intervaly 9:8 (velká sekunda) nebo 32:27 (malá tercie).

Dalším kvintovým krokem nahoru a dolů a přemístěním nových tónů do základní oktávy vytvoříme diatonickou stupnici, tvořenou sedmi tóny: 1:1, 9:8, 32:27, 4:3, 3:2, 27:16, a 16:9.

Základní tón můžeme označit jako D a následující tóny dnes obvyklým způsobem. Vytvořená stupnice je dórský modus s následující intervalovou strukturou:

Označení tónu Relativní frekvence Interval
D 1 prima
E 9:8 velká sekunda
F 32:27 malá tercie
G 4:3 čistá kvarta
A 3:2 čistá kvinta
H 27:16 velká sexta
C 16:9 malá septima
D 2:1 oktáva

Transpozicí všech tónů o velkou sekundu (9:8) níže, jejich přeskupením a posuvem do jedné oktávy získáme základní durovou stupnici:

Označení tónu Relativní frekvence Interval
C 1 prima
D 9:8 velká sekunda
E 81:64 velká tercie
F 4:3 čistá kvarta
G 3:2 čistá kvinta
A 27:16 velká sexta
H 243:128 velká septima
C 2:1 oktáva

Podobně lze vytvořit mollovou stupnici od tónu A a další mody.

Dalšími kvintovými kroky od krajních tónů lze získat další tóny a intervaly. Jelikož  (3:2)^n \neq 2^m pro libovolná dvě přirozená čísla n a m, lze provést libovolný počet kvintových kroků a každý nový tón bude mít i po případných oktávových posunech jinou výšku než tóny, vytvořené dříve.

Po dvanácti krocích získáme následující tóny:

Označení tónu Relativní frekvence Centy Interval
Eb 256:243 90.22 malá sekunda
Bb 128:81 792.18 malá sexta
F 32:27 294.13 malá tercie
C 16:9  996.09 malá septima
G 4:3 498.04 čistá kvarta
D 1:1 0 prima
A 3:2 701.96 čistá kvinta
E 9:8 203.91 velká sekunda
H 27:16 905.87 velká sexta
F# 81:64 407.82 velká tercie
C# 243:128 1109.78 velká septima
G# 729:512 611.73 zvětšená kvarta
D# 2187:2048 113.69 zvětšená prima


Mezi tóny Eb a D# je velmi malá vzdálenost 531441:524288 = 1.0136…, což je asi 23,5 centů, tedy necelá čtvrtina půltónu. Tento interval se nazývá Pythagorejské koma, někdy též Ditonické koma.

Pokud rozdíl mezi tóny Eb a D# zanedbáme, provedeme enharmonickou záměnu a namísto tónu D# použijeme tón Eb, postačuje nám 12 tónů Eb až G# pro vytvoření chromatické stupnice. V této stupnici jsou všechny kvinty čisté, pouze kvinta mezi tóny G# a Eb je o Pythagorejské koma menší a proto zní velmi rozladěně. To způsobuje obtíže při hraní hudby, modulující do vzdálených tónin. Pro omezení tohoto problému bylo vytvořeno mnoho temperovaných ladění.

Počet stupňů v oktávě však nemusí být omezen na 12. Např. po 41 kvintových krocích je mezi krajními tóny vzdálenost 19,84 centů, což je trochu méně než Pythagorejské koma. Výrazně lepší situace nastane po 53 krocích, kdy vzdálenost mezi krajními tóny je jen 3,62 centů. Kvinta menší o necelé 4 centy je velmi dobře použitelná, 4 centy by případně bylo možné snadno „vytemperovat“ a vytvořit tak např. rovnoměrně temperovanou 53 tónovou stupnici. Ta by byla velmi dobrou aproximací Pythagorejského ladění. Její nevýhodou je však příliš velký počet tónů v oktávě, který by působil technické potíže při stavbě hudebních nástrojů a hře na ně.

Pythagorejská durová tercie 81:64, mollová tercie 32:27 a tím i malá a velká sexta jsou poměrně disonantní. Pythagorejské ladění bylo proto v evropské hudbě používáno především v období, kdy byly za konsonance považovány pouze oktáva, kvinta a kvarta. S příchodem dur-mollové harmonie a potřebou konsonantních tercií a kvintakordů se objevila čistá ladění s durovou tercií 5:4 a mollovou tercií 6:5.