Projektivní rovina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
V projektivní geometrii se libovolné dvě přímky protnou. Odpovídá to představě malířského plátna, kde bod reprezentuje přímku v zobrazovaném prostoru.

Projektivní rovina je matematický prostor, v kterém jsou definovány přímky a body a platí v ní následující axiomy:

  • Každé dva různé body leží na právě jedné přímce
  • Každé dvě různé přímky se protínají právě v jednom bodě
  • Existují alespoň 4 různé body, z nichž žádné tři neleží na přímce
  • Existují alespoň 4 různé přímky, z nichž žádné tři se neprotínají v bodě.

Jedná se o jeden ze základních pojmů projektivní geometrie.

Nejznámější projektivní rovina je reálná projektivní rovina, jejíž model je \mathbb{RP}^2. Body jsou tady definovány jako jednorozměrné podprostory \R^3 (nebo afinní přímky procházející jedním bodem třírozměrného afinního prostoru) a přímky jako dvojrozměrné podprostory (množina všech afinních přímek ležících v jedné afinní rovině).

Pro každé těleso F je možné zkonstruovat podobnou projektivní rovinu \mathbb{FP}^2. Např. nejmenší projektivní rovinu (počtem bodů), tzv. Fanova rovina, která obsahuje pouze 7 bodů a 7 přímek, což je projektivní rovina nad dvouprvkovým tělesem \mathbb{ZP}^2.

Známá je také projektivní rovina \mathbb{OP}^2 známá jako Cayleyho rovina, anebo Moufangové rovina. Dá se zkonstruovat pomocí oktonionů a je známá tím, že v ní neplatí Desarguesův axiom. Studium Cayleyho roviny má vnitřní souvislost s výjimečnými Lieovými grupami.