Maxwellův tenzor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V elektrodynamice je Maxwellův tenzor tenzor napětí vyjadřující tok hybnosti elektromagnetického pole zvolenou plochou. V jednotkách jednotkách SI je pro izotropní prostředí dán vztahem

\boldsymbol{\sigma} = 
\frac{1}{2}\boldsymbol{\delta}\left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\right)
-\mathbf{E}\otimes\mathbf{D}-\mathbf{H}\otimes\mathbf{B},

kde δ značí jednotkový tenzor druhého řádu, resp. analogicky ve složkách jako

\sigma_{ij} = \frac{1}{2}\delta_{ij}\left(E_kD_k+H_kB_k\right) -E_iD_j -H_iB_j.

S pomocí Maxwellova tenzoru lze formulovat zákon zachování hybnosti pro elektromagnetické pole jako rovnici kontinuity

\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial t}+\mathrm{div}\, \boldsymbol{\sigma}=-\mathbf{f},

kde \mathbf{f} je hustota síly působící na daný objem a \mathbf{g} = \mathbf{D}\times\mathbf{B} je hustota hybnosti elektromagnetického pole. Analogicky ve složkách

\frac{\partial g_i}{\partial t}+\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j}=-f_i.

Tenzor elektromagnetického pole[editovat | editovat zdroj]

V teorii relativity se používá obecnější tenzor, který se označuje jako tenzor elektromagnetického pole.


Použijeme-li čtyřpotenciál elektromagnetického pole ve tvaru

A_\iota = (\varphi,-c\mathbf{A}),

kde \varphi je skalární potenciál elektrostatického pole a \mathbf{A} je vektorový potenciál magnetického pole, pak z parciálních derivací čtyřpotenciálu podle prostoročasových souřadnic lze vytvořit antisymetrický tenzor druhého řádu

F_{\iota\kappa} = \frac{\part A_\kappa}{\part x^\iota} - \frac{\part A_\iota}{\part x^\kappa}

pro \iota,\kappa = 0,1,2,3. Tento tenzor se nazývá tenzorem elektromagnetického pole.


Složky tenzoru elektromagnetického pole je možné vyjádřit prostřednictvím složek elektrické intenzity \mathbf{E} a magnetické intenzity \mathbf{H}

F_{\iota\kappa} = \begin{pmatrix} 0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\ E_1 & 0 & H_3 & -H_2 \\ E_2 & -H_3 & 0 & H_1 \\ E_3 & H_2 & -H_1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -E_i \\ E_k & H_{ik} \end{pmatrix},

kde \iota,\kappa=0,1,2,3 a i,k=1,2,3.

Pro složky kontravariantního tenzoru pak dostaneme

F^{\iota\kappa} = \begin{pmatrix} 0 & E^1 & E^2 & E^3 \\ -E^1 & 0 & H^3 & -H^2 \\ -E^2 & -H^3 & 0 & H^1 \\ -E^3 & H^2 & -H^1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & E^i \\ -E^k & H^{ik} \end{pmatrix}

Související články[editovat | editovat zdroj]