Möbiova páska

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Schéma

Möbiova páska (také Möbiův pás, Möbiův pásek nebo Möbiův list) je plocha, která má jen jednu stranu a jednu hranu. V roce 1858 ji nezávisle na sobě objevili (resp. „vynalezli“) matematici August Ferdinand Möbius a Johann Benedikt Listing. Ve starší literatuře se nazývá také Simonyho prstenec. Protože orientace plochy Möbiovy pásky není možná, patří mezi neorientovatelné plochy. Lze ji najít na každé neorientovatelné ploše, například na Kleinově láhvi.[1]

Není to žádné složité zařízení, přesto velmi názorně ukazuje efekty, které způsobují deformace dvojrozměrné plochy do třetího rozměru.

Matematický popis[editovat | editovat zdroj]

Jednotkovou Möbiovu pásku lze jednoduše matematicky popsat pomocí parametrických rovnic:

 x = \cos{\alpha} + p \cos{\frac{\alpha}{2}} \cos{\alpha}
 y = \sin{\alpha} + p \cos{\frac{\alpha}{2}} \sin{\alpha}
 z = p \sin{\frac{\alpha}{2}},

kde \alpha a p jsou parametry, pro které platí

 0 \leq \alpha \leq 2\pi
 p_{\min} \leq p \leq p_{\max}

Hodnoty p_{\min} a p_{\max} určují šířku pásky a mohou být stanoveny z otevřeného intervalu \left(-1,1 \right).

Vytvoření Möbiovy pásky[editovat | editovat zdroj]

Möbiova páska vytvořená z papíru

K vytvoření stačí vzít delší a užší pruh papíru, jehož jeden konec se jednou příčně přetočí (jedna půlotáčka) a slepí se s druhým koncem. Nevznikne tak běžný prstenec se dvěma stranami, ale kupodivu objekt, který je sice trojrozměrný, má však jen jednu jedinou stranu (rub a líc na sebe navzájem navazují, jedno přechází v druhé). Má tedy ve skutečnosti jen líc (nebo jen rub). Pásku podobných vlastností též získáme, pokud počet příčných přetočení jednoho konce pásky vůči druhému bude lichý.

Další efekty[editovat | editovat zdroj]

Pokud je Möbiova páska uprostřed podélně rozstřižena, vznikne jeden dlouhý, několikrát protočený proužek.

Pokud není Möbiův proužek rozstřižen uprostřed, ale u okraje, vzniknou dva do sebe vpletené proužky, jeden dvakrát delší než původní proužek bez vlastností Möbiova proužku, druhý s jeho vlastnostmi. Pokud se bude v rozstříhávání pokračovat, vzniknuvší proužky budou propleteny se všemi předcházejícími.

Umění a technologie[editovat | editovat zdroj]

Möbiův pás inspiroval různé umělce. M. C. Escher vytvořil několik obrazů s touto tematikou. Nejznámější z nich je Möbius Strip II, na kterém kráčí po Möbiově pásku mravenci.[2]

Möbiův pás se objevuje i ve vědeckofantastickém žánru.

Trojrozměrný ekvivalent, Möbiovu krychli, také použil Dan Simmons ve svém Kantosu Hyperionu, jakožto úložiště schopné uzavřít předměty nebo bytosti s obrovskou energií.

Mobiův pás našel své uplatnění i v technické praxi. Např. dopravníky nebo jako nekonečná přehrávací smyčka s dvojnásobnou délkou záznamu.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Virtual Math Museum, Moebius Strip [online]. 3DXM Consortium, [cit. 2008-06-10]. Dostupné online. (anglicky) 
  2. Obraz je k vidění např. na této adrese.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]