Lagrangeova funkce

Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.

Definice

Pro konzervativní systém má lagrangián tvar

$L = L(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t) =T(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t) - V(q_1,q_2,...,q_m,t)$

kde $q_1,q_2,...,q_m \,$ jsou zobecněné souřadnice, $\dot{q}_i$ jsou zobecněné rychlosti, $T$ je celková kinetická energie, $V$ je potenciální energie a $m$ je počet stupňů volnosti.

Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce $U(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t)$, tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru $Q_j = -\frac{\part U}{\part q_j} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\part U}{\part \dot{q}_j}$. Pak:

$L = T(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t) - U(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t)$

Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.

Vlastnosti

Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí $L$ pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí

$L_\mathrm{var} = L + \dot{F}(q_1,q_2,....q_m,t)$,

kde $F$ je libovolná funkce polohy a času.

Hustota lagrangiánu

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

$L = \int \mathcal L(q_j(\mathbf{x}),\dot{q}_j(\mathbf{x}),t) \,\mathrm d^3 \mathbf{x}$

Jednoduché příklady

• Lagrangián částice s rychlostí $v \,$ v konzervativním poli s potenciální energií $E_\mathrm p \,$

$L = \tfrac{1}{2} m v^2 - E_\mathrm p$

• Lagrangián částice s nábojem $q \,$ v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem $\varphi \,$ a magnetickým vektorovým potenciálem $\mathbf{A} \,$

$L = \tfrac{1}{2} m v^2 - q (\varphi - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A})$

• Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s $q \,$):

$L = - m_0 c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2}} - q (\varphi - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A})$

Literatura

• BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha : Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 2.4.4 Klasifikace sil, 3.8.2 Hamiltonův princip, s. 102, 272.  
• LEECH, J. W.. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha : SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra.) 04-012-70. Kapitola III. Lagrangeovy rovnice, s. 24-26.  

Související články

• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Eulerova-Lagrangeova rovnice