Lagrangeova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Pro konzervativní systém má lagrangián tvar

L = L(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t) =T(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t) - V(q_1,q_2,...,q_m,t)

kde q_1,q_2,...,q_m \, jsou zobecněné souřadnice, \dot{q}_i jsou zobecněné rychlosti, T je celková kinetická energie, V je potenciální energie a m je počet stupňů volnosti.

Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce U(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t), tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru Q_j = -\frac{\part U}{\part q_j} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\part U}{\part \dot{q}_j}. Pak:

L = T(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t) - U(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t)[pozn. 1]


Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí L pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí

L_\mathrm{var} = L + \dot{F}(q_1,q_2,....q_m,t),

kde F je libovolná funkce polohy a času.

Hustota lagrangiánu[editovat | editovat zdroj]

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

L = \int \mathcal L(q_j(\mathbf{x}),\dot{q}_j(\mathbf{x}),t) \,\mathrm d^3 \mathbf{x}

Jednoduché příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Lagrangián částice s rychlostí v \, v konzervativním poli s potenciální energií E_\mathrm p \,
L = \tfrac{1}{2} m v^2 - E_\mathrm p
L = \tfrac{1}{2} m v^2 - q (\varphi - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A})
  • Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s q \,):
L = - m_0 c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2}}  - q (\varphi - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A})

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Zobecněná potenciálová funkce se někdy značí M. Symbol U je vyhrazen jen pro část, která neodpovídá konzervativním silám, tedy M = V + U. Lagrangeova funkce je pak zavedena vztahem L = T - M = T - (V + U)

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha : Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 2.4.4 Klasifikace sil, 3.8.2 Hamiltonův princip, s. 102, 272.  
  • LEECH, J. W.. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha : SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra) 04-012-70. Kapitola III. Lagrangeovy rovnice, s. 24-26.  

Související články[editovat | editovat zdroj]