Dirichletova beta funkce

Dirichletova beta funkce je speciální funkcí, úzce související s Riemannovou zeta funkcí.

Definice

Dirichletova beta funkce je definována (za předpokladu Re(s) > 0) jako:

$\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s},$

nebo ekvivalentně

$\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx.$

Funkci lze analyticky rozšířit na celou komplexní rovinu:

$\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) \cos \frac{\pi s}{2}\,\beta(1-s),$

kde Γ(s) je gama funkce.

Vybrané speciální hodnoty

$\beta(0)= \frac{1}{2},$

$\beta(1)\;=\;\mathrm{arctg}(1)\;=\;\frac{\pi}{4},$

$\beta(2)\;=\;0,915965594177219015\ldots$  má speciální název Catalanova konstanta,

$\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32},$

$\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536},$

$\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}.$

Externí odkazy

• (anglicky) Dirichletova beta funkce na serveru MathWorld