Dirichletova beta funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Dirichletova beta funkce je speciální funkcí, úzce související s Riemannovou zeta funkcí.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Dirichletova beta funkce je definována (za předpokladu Re(s) > 0) jako:

\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s},

nebo ekvivalentně

\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx.

Funkci lze analyticky rozšířit na celou komplexní rovinu:

\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) 
\cos \frac{\pi s}{2}\,\beta(1-s),

kde Γ(s) je gama funkce.

Vybrané speciální hodnoty[editovat | editovat zdroj]

\beta(0)= \frac{1}{2},
\beta(1)\;=\;\mathrm{arctg}(1)\;=\;\frac{\pi}{4},
\beta(2)\;=\;0,915965594177219015\ldots  má speciální název Catalanova konstanta,
\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32},
\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536},
\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]