Bornova řada

Bornovou řadou se rozumí rozvoj různých rozptylových veličin v kvantové teorii rozptylu do řady v mocninách interakčního potenciálu $V$ (přesněji v mocninách $G_{0}V,$ kde $G_{0}$ je Greenův operátor pro volnou částici). Omezením se na členy do prvního řádu dostaneme Bornovu aproximaci. Tato řada se dá chápat jako mocninná řada ve vazbové konstantě, kterou zavedeme substitucí $V\to \lambda V$ . Rychlost a poloměr konvergence Bornovy řady jsou dány vlastními čísly operátoru $G_{0}V$ . Obecně lze říci, že první členy Bornovy řady dobře aproximují příslušnou veličinu pro "slabý" potenciál $V$ a pro velkou srážkovou energii.

Bornova řada pro rozptylové stavy[editovat | editovat zdroj]

Bornovu řadu pro rozptylové stavy můžeme zapsat následovně

|\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{2}|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{3}|\phi \rangle +\dots

Lze ji odvodit iterováním Lippmanovy-Schwingerovy rovnice

|\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\psi \rangle .

Greenův operátor $G_{0}$ volné částice, který se zde vyskytuje může být retardovaný/advanceovaný nebo ve smyslu hlavní hodnoty, pokud požadujeme retardované $|\psi ^{(+)}\rangle$ , advanceované $|\psi ^{(-)}\rangle$ nebo rozptylové řešení ve smyslu stojaté vlny $|\psi ^{(P)}\rangle$ . První iteraci dostaneme nahrazením rozptylového řešení $|\psi \rangle$ vlnovou funkcí volné částice $|\phi \rangle$ na pravé straně Lippmannovy-Schwingerovy rovnice a dostaneme tak první Bornovu aproximaci. Pro druhou iteraci dosadíme na pravou stranu první Bornovu aproximaci. Výsledek se nazývá druhá Bornova aproximace. Obecně pro obdržení n-té Bornovy aproximaci vezmeme n členů řady. Bornovu řadu můžeme formálně vysčítat jako geometrickou řadu s kvocientem daným operátorem $G_{0}V$ . Tak dostaneme formální řešení Lippmannovy-Schwingerovy rovnice ve tvaru

|\psi \rangle =[I-G_{0}(E)V]^{-1}|\phi \rangle =[V-VG_{0}(E)V]^{-1}V|\phi \rangle .

Bornova řada pro T-matici[editovat | editovat zdroj]

Bornovu řadu můžeme napsat také pro další rozptylové veličiny jako je T-matice, která je úzce spojená s amplitudou rozptylu. Iterováním Lippmannovy-Schwingerovy rovnice pro T-matici dostaneme

T(E)=V+VG_{0}(E)V+V[G_{0}(E)V]^{2}+V[G_{0}(E)V]^{3}+\dots

V případě T-matice je za $G_{0}$ potřeba dosadit retardováný Greenův operátor $G_{0}^{(+)}(E)$ . Greenův operátor ve smyslu hlavní hodnoty pak vede na K-matici.