Boltzmannova rovnice

Boltzmannova rovnice, známá také jako Boltzmannova transportní rovnice, zavedená Ludwigem Boltzmannem, popisuje statistické rozdělení jedné částice v tekutině. Je to důležitá rovnice nerovnovážné statistické mechaniky, oblasti statistické mechaniky, která se zabývá systémy, které jsou daleko od termodynamické rovnováhy; např. v přítomnosti teplotního gradientu nebo elektrického pole. Boltzmannova rovnice se používá ke studiu schopnosti tekutiny transportovat fyzikální veličiny jako teplo a náboj, a tedy k odvození transportních vlastností, např. elektrické vodivosti, Hallovy vodivosti, viskozity a tepelné vodovosti.

Přehled

Boltzmannova rovnice je rovnice pro časový (t) vývoj rozdělovací funkce f(x, p, t) v jednočásticovém fázovém prostoru, kde x je poloha a p je hybnost. Rozdělení je definováno tak, že

$f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p}$

je počet částic, které se v čase t nacházejí v prostorovém elementu $d^3 x$ v okolí x a jejich hybnost je v intervalu $d^3p$ v okolí p.

Působí-li na částice popsané f vnější síla F, musí f, za předpokladu neexistence srážek, splňovat

$f(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}\,dt,\mathbf{p}+\mathbf{F}\,dt,t+dt)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} = f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p},$

což znamená, že mají-li nějaké částice v čase t souřadnici x a hybnost p, v čase $t + \mathrm{d}t$ budou (všechny) v $\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}\mathrm{d}t$, s hybností $\mathbf{p} + \mathbf{F}\mathrm{d}t$.

Avšak, protože ke srážkám dochází, hustota částic v elementu fázového prostoru dx dp se mění.

$f(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}dt,\mathbf{p} + \mathbf{F}dt,t+dt) \,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} - f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} = \left. \frac{\partial f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} \, d\mathbf{x} \, d\mathbf{p} \, dt$

Vydělením rovnice dx dp dt dostaneme v limitě Boltzmannovu rovnici

$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \cdot \frac{\mathbf{p}}{m} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{F} = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}.$

F(x, t) je síla působící mezi částicemi v tekutině a m je hmotnost částic. Člen na pravé straně rovnice popisuje efekt srážek mezi částicemi; je-li roven nule, částice se nesrážejí. Bezsrážková Boltzmannova rovnice je často chybně nazývána Liouvillova rovnice (Liouvillova rovnice je N-částicová rovnice).

Molekulární chaos a srážkový člen (Stosszahl Ansatz)

Výše uvedená Boltzmannova rovnice nemá velký praktický význam, neboť nechává srážkový člen nespecifikovaný. Klíčová myšlenka použitá Boltzmannem byla určit srážkový člen výhradně ze srážek dvou částic, o kterých se předpokládá, že před srážkou jsou nekorelované. Tento předpoklad byl Boltzmannem nazýván 'Stosszahl Ansatz', a je také znám jako předpoklad molekulárního chaosu. Za tohoto předpokladu lze srážkový člen psát jako integrál v hybnostním prostoru přes součin jednočásticových rozdělovacích funkcí:

$\left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = \int\!\!\! \int g(\mathbf{p-p'},\mathbf{q}) \left[f(\mathbf{x},\mathbf{p+q},t) f(\mathbf{x},\mathbf{p'-q},t) - f(\mathbf{x},\mathbf{p},t) f(\mathbf{x},\mathbf{p'},t)\right]\,d\mathbf{p'}\,d\mathbf{q}.$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Boltzmann equation na anglické Wikipedii.