Youngova nerovnost

V matematice, Youngova nerovnost, pojmenovaná podle W. H. Younga, dává do vztahu součin dvou nezáporných čísel a součet jejich mocnin:

Jsou-li $a,b\geq 0$ , $p,q\in (1,\infty )$ , $pq=p+q$ , pak

ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}

.

Důkaz

Pro $a=0$ nebo $b=0$ je důkaz triviální. Jinak z konkávnosti logaritmu (Jensenova nerovnost) dostáváme, že

\ln \left({\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\right)\geq {1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})=\ln(ab)

,

což bylo dokázat.