Reciproká rovnice

Reciproká rovnice je taková rovnice, jejíž levou stranu tvoří reciproký polynom. Ten je charakteristický symetričností svých koeficientů. První je stejný (popř. opačný) jako poslední, druhý je stejný (popř. opačný) jako předposlední atd. Je zřejmé, že máme-li reciproký polynom sudého stupně (tedy má lichý počet členů), existuje zde prostřední koeficient, ke kterému neexistuje symetrický člen.

Jsou-li si symetrické koeficienty rovny, jedná se o rovnici prvního druhu. Jsou-li však symetrické koeficienty opačné, jedná se o rovnici druhého druhu. Dále podle stupně polynomu rozlišujeme rovnici sudého a lichého stupně.

Definice

Nechť je dán reciproký polynom $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\,,\,\,a_{n}\neq 0.$

Pak výraz $f(x)=0$ nazýváme

reciproká rovnice 1. druhu jestliže $a_{k}=a_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n$
reciproká rovnice 2. druhu jestliže $a_{k}=-a_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n$
reciproká rovnice sudého stupně pro sudé n
reciproká rovnice lichého stupně pro liché n

Příklad:

a) reciproká rovnice 1. druhu, sudého stupně: 5x⁴ − 7x³ + 3x² − 7x + 5 = 0
b) reciproká rovnice 2. druhu, lichého stupně: 6x³ − 2x² + 2x − 6 = 0

Metody řešení

každá rec. rovnice 2. druhu, lichého stupně má kořen c = 1. Pokud ji vydělíme dvojčlenem (x−1), dostaneme rec. rovnici 1. druhu, sudého stupně
každá rec. rovnice 1. druhu, lichého stupně má kořen c = −1. Pokud ji vydělíme dvojčlenem (x+1), dostaneme rec. rovnici 1. druhu, sudého stupně
rec. rovnici 1. druhu, sudého stupně n lze převést na algebraickou rovnici polovičního stupně dělením výrazem $x^{n/2}$ a substitucí:

y=x+{\dfrac {1}{x}}

y^{2}-2=x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}

y^{3}-3y=x^{3}+{\dfrac {1}{x^{3}}}

y^{4}-4y^{2}+2=x^{4}+{\dfrac {1}{x^{4}}}

Z výše uvedených skutečností je zřejmé, že je-li číslo c řešením rec. rovnice, pak je také číslo 1/c jejím řešením.

Reciproké rovnice lze těmito metodami řešit do určitých stupňů:

rovnice 2. druhu do 10. stupně,
rovnice 1. druhu do 9. stupně.

Příklad

$x^{5}-11x^{4}+17x^{3}+17x^{2}-11x+1=0$ … rovnice 1. druhu, lichého stupně – kořen $x_{1}=-1$ .

Vydělením rovnice dvojčlenem (x+1) dostaneme rovnici

$x^{4}-12x^{3}+29x^{2}-12x+1=0$ … rovnice 1. druhu, sudého stupně – řešení substitucí

$x^{4}-12x^{3}+29x^{2}-12x+1=0\quad /{\dfrac {1}{x^{2}}}$

$x^{2}-12x+29-12{\dfrac {1}{x}}+{\dfrac {1}{x^{2}}}=0$

$(x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}})-12(x+{\dfrac {1}{x}})+29=0\qquad |$ substituce $y=x+{\dfrac {1}{x}}\qquad y^{2}-2=x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}$

$y^{2}-2-12y+29=0\qquad$ … řešení této kvadratické rovnice jsou $y_{1}=9,\,y_{2}=3$

Zpětné dosazení

y₁ = 9

9 = x + 1/x

x² − 9x + 1 = 0

$x_{2,3}={\dfrac {9\pm {\sqrt {77}}}{2}}$

y₂ = 3

3 = x + 1/x

x² − 3x + 1 = 0

$x_{4,5}={\dfrac {3\pm {\sqrt {5}}}{2}}$

Zadaná rovnice má pět kořenů: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{5}.$

Literatura

Emanovský P. (1998). Cvičení z algebry (polynomy, algebraické rovnice). VUP Olomouc. ISBN 80-7067-281-1
Emanovský P. (2002). Algebra 2, 3 (pro distanční studium). VUP Olomouc.
Bican L. (2004). Lineární algebra a geometrie. Academia Praha.