Reciproký polynom

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Reciproký polynom je mnohočlen vyznačující se symetrií svých koeficientů (i kořenů). Tato vlastnost pak pomáhá určit některé jeho kořeny.

Nechť je dán mnohočlen

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x+ a_0\, ,\,\, a_n \neq 0.

pak jej nazýváme

  • reciproký mnohočlen 1. druhu (kladně reciproký), jestliže  a_k=a_{n-k}\, ,\,\, k=0,1,\ldots,n
  • reciproký mnohočlen 2. druhu (záporně reciproký), jestliže  a_k=-a_{n-k}\, ,\,\, k=0,1,\ldots,n

Kořeny[editovat | editovat zdroj]

Z definice reciprokého polynomu plyne, že je-li kořenem číslo c, potom je kořenem také převrácené (reciproké) číslo \dfrac{1}{c}, odtud název. Reciproký polynom zřejmě nemůže mít nulový kořen.

Naopak pokud tato podmínka platí pro všechny kořeny mnohočlenu, musí se již jednat o reciproký mnohočlen.

Hledání kořenů reciprokého polynomu je hledáním řešení reciproké rovnice.

Reciproký polynom druhého druhu má vždy kořen c=1.

Reciproký polynom prvního druhu lichého stupně má kořen c=-1.

U polynomu prvního druhu sudého stupně se používá substituce:

y = x+\dfrac{1}{x}

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Emanovský P. (1998). Cvičení z algebry (polynomy, algebraické rovnice). VUP Olomouc. ISBN 80-7067-281-1
  • Emanovský P. (2002). Algebra 2, 3 (pro distanční studium). VUP Olomouc.
  • BLAŽEK J., KOMAN M., VOJTÁŠKOVÁ (1985). Algebra a teoretická aritmetika, II. díl. Praha: SPN.