Reciproký polynom

Reciproký polynom je mnohočlen vyznačující se symetrií svých koeficientů (i kořenů). Tato vlastnost pak pomáhá určit některé jeho kořeny.

Nechť je dán mnohočlen

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x+ a_0\, ,\,\, a_n \neq 0.$

pak jej nazýváme

• reciproký mnohočlen 1. druhu (kladně reciproký), jestliže  $a_k=a_{n-k}\, ,\,\, k=0,1,\ldots,n$
• reciproký mnohočlen 2. druhu (záporně reciproký), jestliže  $a_k=-a_{n-k}\, ,\,\, k=0,1,\ldots,n$

Kořeny

Z definice reciprokého polynomu plyne, že je-li kořenem číslo $c$, potom je kořenem také převrácené (reciproké) číslo $\dfrac{1}{c}$, odtud název. Reciproký polynom zřejmě nemůže mít nulový kořen.

Naopak pokud tato podmínka platí pro všechny kořeny mnohočlenu, musí se již jednat o reciproký mnohočlen.

Hledání kořenů reciprokého polynomu je hledáním řešení reciproké rovnice.

Reciproký polynom druhého druhu má vždy kořen $c=1$.

Reciproký polynom prvního druhu lichého stupně má kořen $c=-1$.

U polynomu prvního druhu sudého stupně se používá substituce:

$y = x+\dfrac{1}{x}$

Literatura

• Emanovský P. (1998). Cvičení z algebry (polynomy, algebraické rovnice). VUP Olomouc. ISBN 80-7067-281-1
• Emanovský P. (2002). Algebra 2, 3 (pro distanční studium). VUP Olomouc.
• BLAŽEK J., KOMAN M., VOJTÁŠKOVÁ (1985). Algebra a teoretická aritmetika, II. díl. Praha: SPN.