Exponenciální rovnice

Exponenciální rovnice má neznámou v exponentu (mocniteli).

Příklad exponenciální rovnice:

$2^{3-x}=4^{2-x}$

Řešení exponenciální rovnice

Stejné základy

V případě, že máme na obou stranách stejné základy mocniny (mocněnce), jde o nejjednodušší způsob řešení exponenciální rovnice.

Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:

1. $2^{3-x}=4^{2-x}$
2. Základ 4 se dá napsat jako $2^{2}$
   $2^{3-x}=2^{2(2-x)}$
3. Nyní máme stejné základy na obou stranách rovnice, takže to lze napsat následovně:
   $3-x=2(2-x)$
4. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
   $3-x=4-2x$
5. $-x+2x=4-3$
6. $x=1$
   Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí stejného základu.

Logaritmování

V případě, že nemáme mít na obou stranách stejné základy, se rovnice řeší zlogaritmováním.

Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:

1. $2^{3-x}=4^{2-x}$
2. Zlogaritmujeme rovnici:
   $\log 2^{3-x}=\log 4^{2-x}$
3. Využijeme větu o logaritmech – přesuneme exponenty před logaritmus:
   $(3-x)\cdot \log 2=(2-x)\cdot \log 4$
4. Vynásobíme závorky s logaritmem:
   $3\cdot \log 2-x\cdot \log 2=2\cdot \log 4-x\cdot \log 4$
5. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
   $-x\cdot \log 2+x\cdot \log 4=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2$
6. Vytkneme x:
   $x\cdot (-\log 2+\log 4)=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2$
7. Připravíme si rovnici k vyřešení a dopočítáme:
   $x={\frac {2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}{-\log 2+\log 4}}={\frac {\log 4^{2}-\log 2^{3}}{-\log 2+\log 4}}={\frac {\log 16-\log 8}{-\log 2+\log 4}}$
8. Řešení rovnice je:
   $x=1$
   Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí logaritmu.

Substituce

Řešit exponenciální rovnici lze také pomocí substituce.

Příklad postupu řešení:

1. $2^{2x}+2^{x}-6=0$
2. Zavedeme substituci $a=2^{x}$:
   $a^{2}+a-6=0$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   $a_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-1\pm {\sqrt {25}}}{2}}={\frac {-1\pm 5}{2}}$
   
   $a_{1}={\frac {-1+5}{2}}={\frac {4}{2}}=2$
   
   $a_{2}={\frac {-1-5}{2}}={\frac {-6}{2}}=-3$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. $2=2^{x}$
   2. $-3=2^{x}$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. $2=2^{x}$
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo $2$ se dá napsat jako $2^{1}$:
         $2^{1}=2^{x}$
      2. $1=x$
      3. Výsledek je:
         $x=1$
         Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
   2. $-3=2^{x}$
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.

Související články

• Umocňování
• Logaritmus
• Substituce (matematika)
• Vytýkání
• Rovnice
• Lineární rovnice
• Kvadratická rovnice
• Kubická rovnice
• Kvartická rovnice
• Binomická rovnice

Reference

Autoritní data	PSH: 7227

Portály: Matematika