Wikipedista:White Space/Produkt
Produkt (součin) je v univerzální algebře jeden ze základních operací tvorby nového objektu z existujících objektů. Produkt v univerzální algebře je zobecnění produktů u grup, okruhů, těles, atd.
Produkt hraje důležitou roli při definice variet, která je definována jako třída algeber uzavřená na operace produktu, podalgebry a obraz homomorfního zobrazení.
Definice[editovat | editovat zdroj]
Mějme algebry A1 = (A1, F1) a A2 = (A2, F2) stejného typu Δ. Produkt A1 × A2 je algebra s univerzem A1×A2 a množinou operací F typu Δ definovanou následujícím způsobem. Pro každou f ∈ F, Δ(f)-arní, a pro každé (xi, yi) ∈ A1×A2, kde i ∈ [1..n],
- f((x1,y1),...,(xn,yn)) = (f1(x1,...,xn),f2(y1,...,yn)).
Výše zmíněná konstrukce lze zobecnit pro systém algeber (Ai)i∈I, kde I je libovolná indexová množina. Výsledný produkt se značí ∏i∈IAi.
Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]
Algebra ∏i∈IAi zachová rovnice společné pro algebry (Ai)i∈I.
Mějme algebry A1 a A2 s příslušnými projekcemi π1 a π2 a algebru B s homomorfismy h1:B → A1 a h2:B → A2, pak existuje unikátní homomorfismus h tak, že π1∘h=h1 a π2∘h=h2. Platí i zobecněná věta pro ∏i∈IAi.
Přímá dekompozice[editovat | editovat zdroj]
Řekneme, že algebra A má přímou dekompozici, pokud existují algebry A1 a A2 stejného typu tak, že A ≅ A1×A2.
Kongruence α,β ∈ Con(A) se nazývají komplementární faktorové kongruence, pokud platí α∩β = 0A a α∘β = 1A, kde 0A je nejmenší kongruence na algebře A a 1A je největší kongruence na algebře A.
Platí následující vztah mezi přímou dekompozicí a komplementárními faktorovými kongruencemi.:
- Mějme algebru A, její dekompozici A1×A2 a příslušné projekce π1 a π2. Pak platí, že ker(π1) a ker(π2), kde ker(f) = {(x,y) : f(x) = f(y)}tvoří komplementární faktorové kongruence.
- Mějme komplementární faktorové kongruence α,β ∈ Con(A). Pak A ≅ A/α×A/β.
Řekneme, že netriviální algebra nemá přímou dekompozici, pokud neexistuje přímá dekompozice složená z netriviálních algeber. Pro konečné algebry platí, že existuje přímá dekompozice složená z algeber, jež nemají přímou dekompozici. Podobná věta pro nekonečné algebry však neplatí.
Subdirektní dekompozice[editovat | editovat zdroj]
Míti přímou dekompozici je pro algebru silná vlastnost. Z toho však plyne, že ve většině případů daná vlastnost není k dispozici. Proto se pro analýzu algeber používá odlehčená vlastnost, tzv. subdirektní produkt.
Algebra A je subdirektní produkt algeber (Ai)i ∈ I, pokud A je podalgebrou algebry ∏i∈IAi a pro všechny i ∈ I je projekce πi:A → Ai surjektivní.
Vnoření j:A → ∏Ai se nazývá subdirektní, pokud j[A] je subdirektní produkt algeber (Ai)i∈I. j se též nazývá subdirektní reprezentace.
Platí následující vztah mezi subdirektním vnořením a kongruencemi:
- Mějme algebru A a kongruence θi ∈ Con(A) pro všechna i∈I. Pokud ∩i∈Iθi = 0A, pak přirozené zobrazení A → ∏i∈IA/θi je subdirektní vnoření.
- Pokud g:A → ∏Ai je subdirektní vnoření, pak pro θi = ker(πi ∘ g) platí, že ∩i∈Iθi = 0A a A/θi ≅ B.
Řekneme, že algebra A je subdirektně ireducibilní, pokud pro každé subdirektní vnoření h:A → ∏i∈IAi existuje j ∈ I tak, že πi ∘ h: A → Aj je izomorfismus. Pro subdiretkní ireducibilitu platí následující ekvivalence.
- Algebra A je subdiretktně ireducibilní právě tehdy, když 0A je meet-ireducibilní v Con(A).
Pro subdiretkní ireducibilitu platí následující věta.
Věta o subdiretkní reprezentaci (Birkhoff, 1944): Každá netriviální algebra je izomorfní subdirektnímu produktu subdirektně ireducibilních algeber.
Literatura[editovat | editovat zdroj]
- Bergman, C. H.: Universal algebra: fundamentals and selected topics. Boca Raton: CRC Press, c2012. Pure and applied mathematics. A program of monographs, textbooks and lecture notes. ISBN 978-4398-5129-6.
- Burris, S. a Sankappanavar, H. P.: A course in universal algebra. New York: Springer, c1981. Graduate texts in mathematics. ISBN 0-387-90578-2.