Varieta algeber

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Varieta algeber je pojem z univerzální algebry. Budiž \sigma signatura. Označme \mathbb{A}_{\sigma} třídu všech algeber s touto signaturou. Potom se třída \mathbb{B} \subseteq \mathbb{A} nazývá varietou, pokud existuje soustava identit takových, že do \mathbb{B} spadají právě ty algebry z \mathbb{A}, které tyto identity splňují. Identita je zápis vyžadující rovnost dvou termů (viz příklad).

Neformální úvod[editovat | editovat zdroj]

Abstraktní algebra dokazuje věty, které platí pro jednotlivé algebraické struktury (např. větu platnou pro každou grupu, nebo jinou větu platnou pro každý svaz či lineární prostor atd.) a pak není třeba je dokazovat zvlášť pro jednotlivé grupy, svazy apod.

Univerzální algebra je sjednocující podobor abstraktní algebry; zkoumá věty, které platí v každé algebraické struktuře. Aby bylo možno pracovat jednotně s různými strukturami, které mají různý počet a aritu operací, zavádí se pojem signatura, takže například každá grupa je algebra se signaturou  (\, (\circ,2),\,(e,0),\,(^{-1},1)\,)  \,\! a každý okruh je algebra se signaturou  (\, (+,2),\,(.,2),\,(-,1),\,(0,0),(1,0)\,)  \,\! . Signatura je tedy seznam symbolů s uvedenou aritou.

Pokud nějaká věta univerzální algebry (např. věty o izomorfismu) platí pro algebru jakékoli signatury, není již třeba ji ověřovat zvlášť pro grupy, zvlášť pro okruhy, svazy, lineární prostory apod.

Mnohé věty univerzální algebry něco tvrdí o varietách algeber. Ne každá algebra s grupovou signaturou je grupou (například grupou není struktura, kde neplatí asociativita) a podobně ne každá algebra s tělesovou signaturou je tělesem. Třída všech těles varietu netvoří, neboť ji nelze vymezit soustavou identit. Třída všech grup však varietu tvoří, neboť ji lze mezi všemi algebrami s grupovou signaturou vymezit následující soustavou identit:

\begin{align}
a\circ (b \circ c) &= (a\circ b) \circ c \\
a\circ e &= a \\
e \circ a &= a \\
a\circ a^{-1} &= e \\
a^{-1}\circ a &= e \\
\end{align}

Varieta je tedy taková třída algeber, kterou lze vymezit soustavou identit; identita je formule požadující rovnost dvou termů.

Birkhoffova věta[editovat | editovat zdroj]

Birkhoffova věta říká, že třída algeber dané signatury je varietou právě tehdy, pokud je uzavřená na podalgebry, homomorfní obrazy a direktní součiny.

Tuto větu lze použít k prokázání, že nějaká třída varietou není, příklad viz (viz níže).

Příklady variet[editovat | editovat zdroj]

Grupy jako varieta[editovat | editovat zdroj]

Třída všech grup je varietou, neboť struktura s touto signaturou (která obsahuje operace  \circ, ^{-1}, e ) je grupou právě tehdy, když splňuje tuto soustavu identit:

 \begin{align}
 a\circ (b \circ c) &= (a\circ b) \circ c \\
a\circ e &= a \\
e \circ a &= a \\
a\circ a^{-1} &= e \\
a^{-1}\circ a &= e \\
\end{align}

Pojem grupa je ovšem možné definovat i jako strukturu s jednou binární operací. Potom je nutné některé podmínky formulovat jinak, například

 \exist a \forall b :  a \circ b = b

To již není identita (tj. rovnost dvou termů), nýbrž složitější formule prvního řádu. Proto třída všech grup netvoří varietu, pokud ji reprezentujeme touto signaturou s jedinou operací.

Abychom však dokázali, že varietu netvoří, musíme ukázat, že neexistuje ani žádná jiná soustava identit, které by přesně popsaly třídu všech grup. K tomu lze využít Birkhoffovu větu: Kdyby taková soustava v této signatuře existovala, pak podalgebrou grupy byla opět grupa, to však neplatí: Přirozená čísla (včetně nuly) se sčítáním jsou podalgebrou celých čísel se sčítáním.


Okruhy a tělesa[editovat | editovat zdroj]

Třída všech okruhů tvoří varietu, neboť všechny podmínky v jejich definici lze zapsat jako identity. (I zde platí, že pojem okruh lze chápat jako strukturu jen se dvěma binárními operacemi "+" a "⋅", ale v této zmenšené signatuře nebude tvořit varietu.)

Třída všech těles však varietou není, neboť následující podmínka není identitou:

 x\neq 0 \to \exist y: x\cdot y = 1

Abychom ukázali, že skutečně nejde o varietu, využijme opět Birkhoffovu větu: variety jsou uzavřené na direktní součiny. Direktní součin dvou kopií reálných čísel  \mathbb{R} \times  \mathbb{R} je sice okruhem, ale ne tělesem. Abychom to ukázali, je potřeba si uvědomit, že v direktním součinu je sčítání i násobení definováno po složkách (a, b) ⋅ (c, d) = (ab, cd) Jeho jednotkou (tedy neutrálním prvkem vůči násobení) je prvek (1,1). Prvek (0,1) není totožný s nulou tohoto tělesa, tj. neutrálním prvkem při sčítání; tím je prvek (0,0). Přesto však (0,1) nemá inverzní prvek při násobení, což u tělesa připouštíme jen u neutrální prvku ke sčítání. Pro žádná reálná čísla a, b neplatí (a, b) ⋅ (0,1) = (1,1).

Tím je prokázáno, že tělesa netvoří varietu; platí však ještě silnější tvrzení: žádný direktní součin dvou či více těles nemůže být tělesem.