Poissonova rovnice

Poissonovou rovnicí nazýváme rovnici

$\triangle u=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$,

kde $\Delta$ označuje tzv. Laplaceův operátor

$\triangle ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}$

pro $n\geq 2$.

Např. Poissonova rovnice pro proměnné $x,y,z$ má tvar

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=f(x,y,z)$

Poissonova rovnice je tedy parciální diferenciální rovnice eliptického typu.

Laplaceova rovnice

Speciálním případem Poissonovy rovnice je rovnice Laplaceova

$\Delta u=0$,

kde $\Delta$ je Laplaceův operátor.

Každá funkce $u$, která je řešením Laplaceovy rovnice, se nazývá harmonická funkce.

Související články

• Eliptická diferenciální rovnice
• Laplaceův operátor