Lineární uspořádání: Porovnání verzí
→Definice: - doplnění poznámky pro neostré lineární uspořádání |
→Příklady: - oprava (být násobkem je neostré, takže nemusí být antireflexivní) |
||
| Řádek 16: | Řádek 16: | ||
Relace „číslo a je násobek čísla b“ není lineární uspořádání celých kladných čísel - sice je tranzitivní, ale |
Relace „číslo a je násobek čísla b“ není neostré lineární uspořádání celých kladných čísel - sice je tranzitivní a reflexivní, ale není trichotomická (není pravda aní „2 je násobek 3“, ani „3 je násobek 2“, ani „2 = 3“). |
||
Verze z 14. 10. 2006, 10:26
Lineární uspořádání je pojem z teorie uspořádání, který formálně zachycuje intuitivní představu o prvcích množiny, které jsou seřazeny "jeden za druhým".
Definice
Řekneme, že uspořádání (ať již ostré nebo neostré) je lineární, pokud se (kromě ostatních vlastností požadovaných definicí uspořádání) jedná o trichotomickou relaci.
Rozepišme si podrobněji, co všechno musí být splněno, na příkladu ostrého lineárního uspořádání (pro neostré lineární uspořádání musí být antireflexivita nahrazena reflexivitou):
Předpokládejme, že máme relaci na množině , a jsou nějaké její libovolné prvky. Abychom mohli prohlásit tuto relaci za lineární uspořádání množiny , musí být splněny tyto podmínky:
- tranzitivita:
- antireflexivita: pro žádný prvek nesmí platit
- antisymetrie:
- trichotomie:
Příklady
Relace je lineární uspořádání na množině přirozených čísel i reálných čísel.
Relace „číslo a je násobek čísla b“ není neostré lineární uspořádání celých kladných čísel - sice je tranzitivní a reflexivní, ale není trichotomická (není pravda aní „2 je násobek 3“, ani „3 je násobek 2“, ani „2 = 3“).
Uvažujme o pětiprvkové množině X = {a,b,c,d,e} a relaci R = {[a,c],[a,d],[a,e],[b,c],[b,d],[c,d]}. Tato relace je tranzitivní, antireflexivní i antisymetrická. Není však trichotomická, protože například d a e jsou dva různé neporovnatelné prvky.