Podmnožina

B je podmnožina A, A je nadmnožina B

V matematice se jako podmnožina množiny A označuje taková množina B, o jejíchž všech prvcích platí, že jsou zároveň i prvky množiny A. Obdobně se může množina A označit jako nadmnožina množiny B. Tato fakta značíme $B\subseteq A$, případně $A\supseteq B$.

Každá množina je svojí podmnožinou. Podmnožina množiny B, která jí není rovna, se označuje jako vlastní podmnožina množiny B. Tzn. žádná množina není svojí vlastní podmnožinou.

Formální definice

$B\subseteq A\Leftrightarrow (\forall X)(X\in B\implies X\in A)$
$B\subset A\Leftrightarrow (B\subseteq A\land \neg (B=A))$

Způsoby zápisu

Existují dva obvyklé způsoby zápisu podmnožin: Ve starším systému se symbolem „⊂“ označuje jakákoli podmnožina, zatímco symbolem „⊊“ se označuje vlastní podmnožina. V novějším systému se symbolem „⊂“ označuje vlastní podmnožina, zatímco pro označení obecné podmnožiny se používá symbol „⊆“ (analogický např. k „≤“).

Příklady

• Množina { 1, 2, 3 } je vlastní podmnožinou množiny { 0, 1, 2, 3 }.
• Množina všech celých čísel je vlastní podmnožinou množiny všech reálných čísel.
• Množina všech prvočísel větších než 500 je vlastní podmnožinou všech lichých čísel.
• Množina { 2 } je podmnožinou množiny sudých prvočísel (ovšem nikoli vlastní podmnožinou, protože je jí rovna).
• Množina českých prezidentů je vlastní podmnožinou množiny hlav evropských států.
• Prázdná množina je podmnožinou každé množiny.

Vlastnosti

Relace $\subseteq$ je uspořádání na množině všech podmnožin (tj. na potenční množině) libovolně zvolené množiny - to znamená, že splňuje pravidla reflexivity, tranzitivity a slabé antisymetrie.
Na druhé straně existují na každé množině s alespoň dvěma různými prvky takové podmnožiny, které nejsou srovnatelné - $\neg (S_{1}\subseteq S_{2})\land \neg (S_{2}\subseteq S_{1})$. To znamená, že $\subseteq$ není úplné, ale pouze částečné uspořádání.
Prázdná množina je nejmenším prvkem libovolné potenční množiny vzhledem k uspořádání $\subseteq$.