Diferenční rovnice

Diferenční rovnice je rovnice složena z k-tých diferencí nějaké posloupnosti $a_{n}\,$.

Máme-li danou posloupnost $\{a_{n}\}\,$, pak

$d(a_{n})=a_{n}-a_{n-1}\,$

je první diference n-tého členu a

$d^{2}(a_{n})=d(a_{n})-d(a_{n-1})=(a_{n}-a_{n-1})-(a_{n-1}-a_{n-2})=aa_{n}-2a_{n-1}+a_{n-2}$

je druhá diference n-tého členu.

Obecně k-tou differenci definujeme jako

$d^{k}=d^{k-1}(a_{n})-d^{k-1}(a_{n-1})\,$.

Vztah k rekurentním vztahům

Lineární rekurentní vztahy jsou diferenční rovnice, a naopak; protože je to obvyklá forma rekurze, někteří autoři používají tyto dva vztahy zaměnitelně. Například, diferenční rovnice

$3d^{2}(a_{n})+2d(a_{n})+7a_{n}=0\,$

je ekvivalentní rekurentnímu vztahu

$12a_{n}=8a_{n-1}-3a_{n-2}\,$.