Diferenční rovnice

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Diferenční rovnice je rovnice složena z k-tých diferencí nějaké posloupnosti $a_{n}\,$$a_{n}\,$.

Máme-li danou posloupnost $\{a_{n}\}\,$$\{a_{n}\}\,$, pak

$d(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}\,$$d(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}\,$

je první diference n-tého členu a

$d^{2}(a_{n})=d(a_{n+1})-d(a_{n})=(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_{n})=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}$$d^{2}(a_{n})=d(a_{n+1})-d(a_{n})=(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_{n})=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}$

je druhá diference n-tého členu.

Obecně k-tou differenci definujeme jako:

$d^{k}(a_{n})=d^{k-1}(a_{n+1})-d^{k-1}(a_{n})\,$$d^{k}(a_{n})=d^{k-1}(a_{n+1})-d^{k-1}(a_{n})\,$.

Vztah k rekurentním vztahům

Lineární rekurentní vztahy jsou diferenční rovnice, a naopak; protože je to obvyklá forma rekurze, někteří autoři používají tyto dva vztahy zaměnitelně. Například, diferenční rovnice

$3d^{2}(a_{n})+2d(a_{n})+7a_{n}=0\,$$3d^{2}(a_{n})+2d(a_{n})+7a_{n}=0\,$

je ekvivalentní rekurentnímu vztahu

$3a_{n+2}-4a_{n+1}+8a_{n}=0\,$$3a_{n+2}-4a_{n+1}+8a_{n}=0\,$.