Diferenční rovnice

Diferenční rovnice je rovnice pro neznámou posloupnost $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$obsahující její diference.

Máme-li danou posloupnost $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$, pak její (první) diference (zprava) je posloupnost definovaná jako

$\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}\,$.

Druhá diference je diference první diference:

$\Delta ^{2}a_{n}=\Delta a_{n+1}-\Delta a_{n}=(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_{n})=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}$

Obecně k-tou diferenci definujeme jako

$\Delta ^{k}a_{n}=\Delta (\Delta ^{k-1}a_{n})=\Delta ^{k-1}a_{n+1}-\Delta ^{k-1}a_{n}\,$.

Vztah k rekurentním vztahům

Lineární rekurentní rovnice lze jednoznačně převést na (tzv. přidružené) diferenční rovnice a naopak; někteří autoři používají tyto dva vztahy zaměnitelně. Například, diferenční rovnice

$3\Delta ^{2}a_{n}+2\Delta a_{n}+7a_{n}=0\,$

je ekvivalentní rekurentní rovnici

$3a_{n+2}-4a_{n+1}+8a_{n}=0\,$.

Autoritní data: GND: 4012264-5 | PSH: 7627