Diferenční rovnice je rovnice složena z k-tých diferencí nějaké posloupnosti
a
n
{\displaystyle a_{n}\,}
Máme-li danou posloupnost
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}\,}
d
(
a
n
)
=
a
n
+
1
−
a
n
{\displaystyle d(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}\,}
je první diference n-tého členu a
d
2
(
a
n
)
=
d
(
a
n
+
1
)
−
d
(
a
n
)
=
(
a
n
+
2
−
a
n
+
1
)
−
(
a
n
+
1
−
a
n
)
=
a
n
+
2
−
2
a
n
+
1
+
a
n
{\displaystyle d^{2}(a_{n})=d(a_{n+1})-d(a_{n})=(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_{n})=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}}
je druhá diference n-tého členu.
Obecně k-tou differenci definujeme jako:
d
k
(
a
n
)
=
d
k
−
1
(
a
n
+
1
)
−
d
k
−
1
(
a
n
)
{\displaystyle d^{k}(a_{n})=d^{k-1}(a_{n+1})-d^{k-1}(a_{n})\,}
Lineární rekurentní vztahy jsou diferenční rovnice, a naopak; protože je to obvyklá forma rekurze, někteří autoři používají tyto dva vztahy zaměnitelně. Například, diferenční rovnice
3
d
2
(
a
n
)
+
2
d
(
a
n
)
+
7
a
n
=
0
{\displaystyle 3d^{2}(a_{n})+2d(a_{n})+7a_{n}=0\,}
je ekvivalentní rekurentnímu vztahu
3
a
n
+
2
−
4
a
n
+
1
+
8
a
n
=
0
{\displaystyle 3a_{n+2}-4a_{n+1}+8a_{n}=0\,}
