Totální derivace

Totální (úplná) derivace je derivace funkce více proměnných, která na rozdíl od parciální derivace zohledňuje závislosti mezi jednotlivými proměnnými. Totální derivace funkce $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ podle proměnné $x_{i}$ se zapisuje stejně jako obyčejná derivace, tzn. ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x_{i}}}$. Totální derivaci lze vyjádřit pomocí parciálních derivací.

Při určování parciální derivace funkce $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ podle $x_{i}$ považujeme všechny ostatní proměnné za konstanty. Jestliže však existuje nějaká závislost mezi jednotlivými proměnnými, pak ji parciální derivace nezachytí.

Uvažujme např. funkci $f(x,y)=xy$. Parciální derivace podle x je ${\frac {\partial f}{\partial x}}=y$. Pokud však proměnné x a y nejsou nezávislé, pak získaná parciální derivace nevyjadřuje závislost funkce f na x dostatečně. Předpokládejme, že závislost mezi x a y lze vyjádřit jako $y=g(x)$. V takovém případě je $f(x,y)=f(x,g(x))$ a jedná se tedy o parciální derivaci složené funkce, tzn.

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

Jsou-li obě proměnné x i y závislé na další proměnné t, tzn. $x=x(t),y=y(t)$, pak totální derivace f podle t je

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}.$

Totální derivace se často používá ve fyzice.

Související články

• Totální diferenciál