Mayerův vztah: Porovnání verzí
uprava odvození značky: školní IP editace z Vizuálního editoru |
m Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap |
||
Řádek 15: | Řádek 15: | ||
== Odvození pro ideální plyn<ref>{{Citace monografie|příjmení = Novák|jméno = Josef|příjmení2 = |jméno2 = |titul = Prof. Ing.|vydání = |vydavatel = Vydavatelství VŠCHT|místo = Praha|rok = 1999|počet stran = 229|strany = 109-110|isbn = 80-7080-360-6}}</ref> == |
== Odvození pro ideální plyn<ref>{{Citace monografie|příjmení = Novák|jméno = Josef|příjmení2 = |jméno2 = |titul = Prof. Ing.|vydání = |vydavatel = Vydavatelství VŠCHT|místo = Praha|rok = 1999|počet stran = 229|strany = 109-110|isbn = 80-7080-360-6}}</ref> == |
||
<math> C_p - C_V = \left( \frac{\ |
<math> C_p - C_V = \left( \frac{\partial H}{\partial T}\right)_p - \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \left( \frac{\partial (U+pV)}{\partial T}\right)_p - \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_p + p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)_p - \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V </math> |
||
[[Entalpie]] <math> H </math> je definována vztahem |
[[Entalpie]] <math> H </math> je definována vztahem |
||
Řádek 23: | Řádek 23: | ||
kde <math> U </math> je vnitřní energie soustavy, <math> p </math> je její tlak a <math> V </math> objem. |
kde <math> U </math> je vnitřní energie soustavy, <math> p </math> je její tlak a <math> V </math> objem. |
||
Vnitřní energie je funkcí teploty a objemu, tudíž <math> \left(\frac {\ |
Vnitřní energie je funkcí teploty a objemu, tudíž <math> \left(\frac {\partial U}{\partial T}\right)_p </math> je nutno přepsat jako <math> \left( \frac{\partial U(T,V(p,T))}{\partial T}\right)_p </math> |
||
<math> \left( \frac{\ |
<math> \left( \frac{\partial U(T,V(p,T))}{\partial T}\right)_p = \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)_p </math> |
||
Po dosazení do odvození dostaneme |
Po dosazení do odvození dostaneme |
||
<math> C_p - C_V = p\left(\frac {\ |
<math> C_p - C_V = p\left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p + \left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\left(\frac {\partial U}{\partial V}\right)_T = \left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p \left[p+\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right] </math> |
||
Z diferenciálu definice vnitřní energie a Maxwellových relací dostaneme |
Z diferenciálu definice vnitřní energie a Maxwellových relací dostaneme |
||
<math> \left( \frac{\ |
<math> \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac {\partial S}{\partial V}\right)_p - p = T\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V - p </math> |
||
Dalším dosazením do odvození se výraz změní na |
Dalším dosazením do odvození se výraz změní na |
||
<math> C_p - C_V = T\left(\frac {\ |
<math> C_p - C_V = T\left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V </math> |
||
Ze vzorce derivace implicitní funkce |
Ze vzorce derivace implicitní funkce |
||
<math> \left(\frac {\ |
<math> \left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p\left(\frac {\partial T}{\partial p}\right)_V\left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T = -1 </math> |
||
vyjádříme |
vyjádříme |
||
<math> \left(\frac {\ |
<math> \left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p=-\frac{\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V}{\left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T} </math> |
||
Opět dosadíme |
Opět dosadíme |
||
<math> C_p - C_V = -T\frac{\left(\frac {\ |
<math> C_p - C_V = -T\frac{\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)^2_V}{\left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T} </math> |
||
Ze stavové rovnice ideálního plynu |
Ze stavové rovnice ideálního plynu |
||
Řádek 61: | Řádek 61: | ||
a |
a |
||
<math> \left(\frac {\ |
<math> \left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{nR}{V}; |
||
\left(\frac {\ |
\left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T = -\frac {nRT}{V^2} </math> |
||
Znovudosazením do odvození |
Znovudosazením do odvození |
Verze z 18. 11. 2018, 15:12
Mayerův vztah popisuje souvislost mezi molárními tepelnými kapacitami při konstantním tlaku a při konstantním objemu, platný přesně pro ideální plyn. Je pojmenován po svém objeviteli, německém fyzikovi Juliu von Mayerovi.
Pro ideální plyn nabývá známého tvaru:
kde:
- je molární plynová konstanta (zhruba 8,314 J·K-1·mol-1),
- je měrná molární tepelná kapacita při stálém tlaku a
- je měrná molární tepelná kapacita při stálém objemu.
Pro obecný termodynamický systém jednotkového látkového množství platí:
kde:
- je tepelná roztažnost,
- izotermická objemová stlačitelnost a
- jsou objem a termodynamická teplota.
Odvození pro ideální plyn[1]
Entalpie je definována vztahem
kde je vnitřní energie soustavy, je její tlak a objem.
Vnitřní energie je funkcí teploty a objemu, tudíž je nutno přepsat jako
Po dosazení do odvození dostaneme
Z diferenciálu definice vnitřní energie a Maxwellových relací dostaneme
Dalším dosazením do odvození se výraz změní na
Ze vzorce derivace implicitní funkce
vyjádříme
Opět dosadíme
Ze stavové rovnice ideálního plynu
vyjádříme
a
Znovudosazením do odvození
dostaneme výsledný Mayerův vztah
Reference
- ↑ NOVÁK, Josef. Prof. Ing.. Praha: Vydavatelství VŠCHT, 1999. 229 s. ISBN 80-7080-360-6. S. 109-110.