Izolovaný ordinál

Izolovaný ordinál je matematický pojem z teorie množin. Označuje ordinální číslo, které má předchůdce nebo je rovno prázdné množině.

Formální definice

Ordinální číslo $\alpha \,\!$ je izolované, pokud
$\alpha =0\vee (\exists \beta \in On)(\beta \cup \{\beta \}=\alpha )$,
kde $On$ označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady

Každý konečný ordinál (tj. každé přirozené číslo) je izolovaný. Stačí si uvědomit, že

• $1=0\cup \{0\}=\{0\}\,\!$
• $2=1\cup \{1\}=\{0,1\}\,\!$
• $3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}\,\!$
• $\ldots \,\!$

Existují ale i nekonečné izolované ordinály, například označíme-li jako $\omega \,\!$ množinu přirozených čísel, která je rovněž ordinál, pak
$\omega +1=\{0,1,2,\ldots ,\omega \}=\omega \cup \{\omega \}\,\!$ má předchůdce $\omega \,\!$.

Podobně má $\omega +2\,\!$ předchůdce $\omega +1\,\!$, takže se také jedná o izolovaný ordinál. Naproti tomu existují i ordinály, které nejsou izolované. Takovým ordinálům říkáme limitní. Nejmenším takovým ordinálem je právě $\omega \,\!$, ale existují i větší limitní ordinály – například $\omega .2\,\!$, $\omega ^{2}\,\!$ nebo $(\omega ^{\omega })^{\omega }\,\!$.

Použití

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Související články

• Limitní ordinál
• Ordinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Transfinitní indukce
• Transfinitní rekurze

Portály: Matematika