Lineární uspořádání

Lineární uspořádání (někdy také úplné uspořádání) je pojem z teorie uspořádání, který formálně zachycuje intuitivní představu o prvcích množiny, které jsou seřazeny „jeden za druhým“. To mimo jiné znamená, že každé dva prvky lineárně uspořádané množiny jsou porovnatelné.

Definice

Řekneme, že uspořádání (ať již ostré nebo neostré) je lineární, pokud se (kromě ostatních vlastností požadovaných definicí uspořádání) jedná o trichotomickou relaci.

Rozepišme si podrobněji, co všechno musí být splněno, na příkladu ostrého lineárního uspořádání (pro neostré lineární uspořádání musí být antireflexivita nahrazena reflexivitou):

Předpokládejme, že máme relaci $R\,\!$ na množině $X\,\!$, a $a,b,c\in X\,\!$ jsou nějaké její libovolné prvky. Abychom mohli prohlásit tuto relaci za lineární uspořádání množiny $X\,\!$, musí být splněny tyto podmínky:

1. tranzitivita: $aRb\land bRc\implies aRc\,\!$
2. antireflexivita: pro žádný prvek nesmí platit $aRa\,\!$
3. antisymetrie: $aRb\implies \neg bRa\,\!$
4. trichotomie: $aRb\vee bRa\vee a=b\,\!$

Příklady

Relace $<\,\!$ je lineární uspořádání na množině přirozených čísel i reálných čísel.

Relace „číslo a je násobek čísla b“ není neostré lineární uspořádání celých kladných čísel - sice je tranzitivní a reflexivní, ale není trichotomická (není pravda ani „2 je násobek 3“, ani „3 je násobek 2“, ani „2 = 3“).

Uvažujme o pětiprvkové množině X = {a,b,c,d,e} a relaci R = {[a,c],[a,d],[a,e],[b,c],[b,d],[c,d]}. Tato relace je tranzitivní, antireflexivní i antisymetrická. Není však trichotomická, protože například d a e jsou dva různé neporovnatelné prvky.

Související články

• Ostré uspořádání
• Binární relace
• Dobré uspořádání
• Husté uspořádání