Teoretická mechanika

Teoretická mechanika je přístup k problematice mechaniky, který narozdíl od klasické Newtonovy mechaniky nebere za axiomy Newtonovy pohybové zákony, nýbrž exaktnější výchozí předpoklady. Takovéto formulace mechaniky pak umožňují elegantní řešení fyzikálních problémů klasickým newtonovským způsobem těžko řešitelných. Pro ilustraci uveďme problém s kuličkou kutálející se po kouli, kdy je úkolem zjistit, ve kterém místě se kulička od koule odtrhne.
Poprvé přeformuloval klasickou mechaniku Joseph Louis Lagrange v roce 1788. O další nové přístupy k mechanice se zasloužili Jean le Rond d'Alembert a William Rowan Hamilton.
Důležitými pojmy teoretické mechaniky jsou vazby, se kterými souvisí jak D'Alembertův princip, tak i Lagrangeovy rovnice prvního druhu. Z D'Alembertova principu lze odvodit Lagrangeovy rovnice druhého druhu, které popisují pohyb tělesa pomocí tzv. Lagrangeovy funkce $L$, což je rozdíl kinetické a potenciální energie.
Zcela odlišná je formulace Hamiltonova, v níž pohybové rovnice nabývají mimořádně prostého tvaru, a proto se stala pro další rozvoj teoretické fyziky stejně významná jako formulace lagrangeovská. vystupují zde souřadnice a jim příslušné zobecněné hybnosti jako rovnoprávné dvojice proměnných ve fázovém prostoru.

Vazby

Síly, které působí na hmotné body, můžeme rozdělit do dvou skupin. Na jedné straně jsou to síly vtištěné ${\mathbf {F}}$, např. gravitace, elektromagnetická síla, odpor vzduchu atd. Na druhé straně jsou to síly vazbové ${\mathbf {R}}$,tj. reakce podložek či obecnějších vazeb. Matematicky zapisujeme vazby následovně: Pohyb po kouli o poloměru $a$ se středem v počátku je omezen vazbou

$\phi ({\mathbf {r} })=x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2}=0$. )

Dále se budeme zabývat pouze popisem pohybu podrobeného tzv. holonomním, tzn. na rychlosti nezávisejícím vazbám.

Síly holonomních vazeb jsou k vazbám kolmé.

D'Alembertův princip

Matematicky můžeme tento princip formulovat pro soustavu $N$ hmotných bodů pomocí virtuálních posunutí $\delta x_{i}$.

Virtuální posunutí jsou nekonečně malá posunutí, která jsou v každém okamžiku v souladu s vazbami.

Soustava N hmotných bodů se vyvíjí takovým způsobem, že
$\sum _{i=1}^{3N}(m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}-F_{i})\delta x_{i}=0$
pro každé $\delta x_{i}$.