Redukovaný okruh

Redukovaný okruh je takový okruh, který nemá žádné nilpotentní prvky kromě absorpčního prvku. Tento typ okruhů hraje roli zejména v komutativní algebře a v algebraické geometrii.

Formální definice

Je možných několik jednoduchých ekvivalentních definic:

• Okruh $R$ je redukovaný, právě když $\forall r\in R:r^{n}=0\Leftrightarrow r=0$
• Okruh $R$ je redukovaný, právě když je jeho nilradikál roven nulovému ideálu, neboli ${\sqrt {(0)}}=(0)$
• Okruh $R$ je redukovaný, právě když $\forall r\in R:r^{2}=0\Leftrightarrow r=0$

Příklady

• Celá čísla jsou redukovaný okruh.
• Polynomické okruhy nad tělesy jsou redukované okruhy.
• Obory integrity jsou redukované okruhy.
• Faktorokruh $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ není redukovaný, neboť třída $2+4\mathbb {Z}$ je nenulovým nilpotentním prvkem.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Reduzierter Ring na německé Wikipedii.