Radikál ideálu

Radikál ideálu je pojem z abstraktní algebry, přesněji z teorie okruhů. Pro ideál $I$ komutativního okruhu $R$ se radikálem ideálu $I$ rozumí množina všech prvků okruhu $R$, jejichž konečná mocnina padne do $I$. Značí se ${\sqrt {I}}$ nebo $\operatorname {Rad} (I)$. S tímto značením je možno definici vyjádřit následovně:

${\sqrt {I}}=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {N} :r^{n}\in I\}.$

Ve speciálním případě, kdy je ideál roven svému radikálu, tedy ${\sqrt {I}}=I$, je tento ideál nazýván radikálový ideál. Dalším zvláštním případem je radikál nulového ideálu, který je nazýván nilradikál a značen ${\sqrt {(0)}}$.

Vlastnosti

• Radikál ideálu je ideál.
• Platí $\operatorname {Rad} \left(\operatorname {Rad} (I)\right)=\operatorname {Rad} (I)$, jinými slovy operace určení radikálu je idempotentní a radikál ideálu je vždy radikálovým ideálem.
• Radikál ideálu $I$ je roven průniku všech prvoideálů obsahujících $I$.