Metoda řetězových zlomků

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Metoda řetězových zlomků je numerický algoritmus navržený k řešení integrálních rovnic teorie rozptylu jako jsou Lippmann-Schwingerova rovnice nebo Faddeevovy rovnice. Byla vyvinuta Jiřím Horáčkem a T. Sasakawou [1] na Tohoku University v Sendai v Japonsku v roce 1983. Metoda řeší integrální rovnici tvaru

pomocí iterací, přičemž konstruuje řetězový zlomek pro T-matici

Metoda existuje ve dvou variantách. V první z nich (označené zkratkou MCFV) konstruujeme aproximace operátoru potenciální energie ve formě separabilní funkce ranku 1, 2, 3 ... Ve druhé variantě (metoda MCFG[2]) konstruujeme separabilní aproximace Greenova operátoru. Aproximace jsou konstruovány pomocí vektorů z Krylovova prostoru . Tyto metody lze rovněž chápat jako resumaci (obecně divergentní) Bornovy řady pomocí Padého aproximantů. Metoda MCFV je rovněž úzce svázána se Schwingerovým variačním principem. Z numerického hlediska metoda vyžaduje stejnou výpočetní náročnost jako konstrukce členů Bornovy řady, ale mnohem rychleji konverguje.

Algoritmus MCFV[editovat | editovat zdroj]

Prvním krokem odvození metody je zavedení separabilní aproximace potenciálu

Integrální rovnice se separabilním potenciálem se dá snadno vyřešit. Řešení původního problému pak lze vyjádřit jako

pomocí funkce , která řeší modifikovanou Lippmann-Schwingerovu rovnici

kde Zbytkový potenciál je průhledný pro přicházející vlny

tj. jde o slabší operátor, než původní potenciál. Nová rovnice pro má stejný tvar jako původní rovnice a můžeme ji dále řešit stejnou úpravou. To vede na rekurentní relace

Dá se ukázat, že T-matici pro původní problém můžeme vyjádřit ve formě řetězového zlomku

kde jsme zavedli

Při praktických výpočtech nahradíme nekonečný řetězový zlomek konečným tak, že položíme

To je ekvivalentní předpokladu, že zbytkové řešení

je zanedbatelné. To je rozumný předpoklad, neboť zbytkový potenciál má všechny vektory ve svém nulovém prostoru. Dá se ukázat, že potenciál konverguje k nule a řetězový zlomek konverguje k přesné T-matici.

Algoritmus MCFG[editovat | editovat zdroj]

Druhá varianta algoritmu[2] vychází z konstrukce aproximací Greenova operátoru

tentokrát pomocí vektorů

.

Vyjádření T-matice řetězovým zlomkem zůstává v platnosti, ale s trochu modifikovanou definicí koeficientů [2].

Vlastnosti a vztah k jiným metodám[editovat | editovat zdroj]

Ukazuje se, že výrazy pro T-matici, vycházející z obou metod dávají určitou třídu variačních principů, což zdůvodňuje rychlou konvergenci. Ve speciálním případě první iterace metodu MCFV dostaneme stejný výsledek jako ze Schwingerova variačního principu s použitím testovací funkce . V případě metody MCFV reprodukují vyšší iterace s N členy řetězového zlomku 2N členů Bornovy řady. Pro metodu MCFG je to dokonce 2N+1 členů. Dále se dá ukázat, že obě metody dají přesné řešení Lippmann-Schwingerovy rovnice pokud je potenciál operátor konečného ranku. Počet iterací je pak roven ranku potenciálu. Metoda řetězových zlomků byla úspěšně používána v jaderné[3] a molekulové fyzice[4].

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Horáček J., Sasakawa T. “Method of continued factions with application to atomic physics”, Phys. Rev. A 28, 2151-2156 (1983).
  2. a b c Horáček J., Sasakawa T. “Method of continued factions with application to atomic physics. II”, Phys. Rev. A 30, 2274-2277 (1984).
  3. Sasakawa T. "Models and methods in few body physics", editoři Ferreira, Fonseca, Sterit, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1987
  4. Ribeiro E.M.S, Machado L.E., Lee M.-T., Brescansin L.M. "Application of the method of continued fractions to electron scattering by polyatomic molecules", Computer Physics Communications 136 (2001) 117-125.