Řetězový zlomek

Řetězový zlomek je výraz typu

$a_{0}\,,\,a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}}}\,,\,a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}}}}}\,,\,a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}\,,\,a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}}}}}}}}}\,,\;\ldots ,$

kde a₀ je celé číslo a čísla a_i jsou kladná přirozená čísla. Pokud je dána pouze konečná posloupnost (a₀, a₁, a₂…), pak jde o konečný řetězový zlomek, pokud je tato posloupnost nekonečná, pak se jedná o nekonečný řetězový zlomek, který bývá také značen:

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}+\ddots }}}}}}}}.$

Často se řetězový zlomek zapisuje jen posloupností koeficientů: $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},...]$.

Příklad

Eulerovo číslo lze zapsat následujícím nekonečným řetězovým zlomkem, kde platí pravidlo: $a_{0}=2,a_{3n-1}=2n,a_{3n}=a_{3n+1}=1$.

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$,

Využití

Nekonečný řetězový zlomek může reprezentovat iracionální číslo způsobem, který je nezávislý na volbě číselné soustavy, což ho dělá v tomto smyslu matematicky přirozenějším, než je například desetinný zápis. Některá známá iracionální čísla mají rozvoj řetězového zlomku daný jednoduchým pravidlem, přestože jejich desetinný rozvoj je neperiodický, např. zlatý řez má rozvoj tvořený samými jedničkami.

Příkladem využití řetězových zlomků je úloha nalezení základního řešení Pellovy rovnice.

Vlastnosti

Konečný řetězový zlomek mají právě racionální čísla. Periodický řetězový zlomek mají právě kvadratické iracionality tvaru ${{p\pm {\sqrt {n}}} \over q}$, kde $p,q\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} ,{\sqrt {n}}\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q}$.

Odkazy

Literatura

• CHINČIN, Alexandr Jakovlevič. Řetězové zlomky. Překlad Karel Rychlík. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, 1952. 
• VÍT, Pavel. Řetězové zlomky. Praha: Mladá fronta, 1982. (Škola mladých matematiků). Dostupné online. 

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu řetězový zlomek na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph441076 LCCN: sh85051149 NDL: 00569391 NLI: 987007548245805171