Pellova rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Grafické znázornění řešení Pellovy rovnice pro s vyznačenými šesti z celočíselných řešení

Pellova rovnice je označení diofantické rovnice ve tvaru:

kde je kladné celé číslo. Často je navíc přidáván požadavek, aby bylo nečtvercové, neboť ve variantě s čtvercovým číslem má rovnice jen dvojici řešení , která má vždy a označují se tedy triviální řešení.[1] Naopak není-li číslo čtvercem, pak má úloha nekonečně mnoho řešení, jak dokázal již Joseph-Louis Lagrange.

K nalezení základního řešení je možné použít řetězový zlomek vyjadřující .[1] Ze základního řešení je možné získat všechna další řešení z rekurentní rovnice s maticovým násobením:[1]

Z hlediska abstraktní algebry je nalezení řešení ekvivalentní úloze nalezení jednotekokruhu celistvých čísel kvadratického tělesa.

Jedním z nejstarších výskytů patřičné úlohy je Archimédova úloha o dobytku.[2] Řešením Pellovy rovnice se zabývali rovněž matematikové ve staré Indii, kde ji zkoumal například Brahmagupta v sedmém století a Bháskara II. ve dvanáctém století.[3]

V novověké Evropě se Pellovou rovnicí zabýval mimo jiné Pierre de Fermat, který o ní také psal v roce 1657 v dopise, jehož adresátem byl jeho přítel Bernard Frénicle de Bessy. Pojmenování rovnice po anglickém matematikovi Johnu Pellovi vzniklo následkem toho, že jej Leonhard Euler mylně považoval za autora jejího řešení.[4]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Pellsche Gleichung na německé Wikipedii a Pell's equation na anglické Wikipedii.

  1. a b c VÍT, Pavel. Řetězové zlomky. Praha: Mladá fronta, 1982. Dostupné online. Kapitola 18. Použití řetězových zlomků. 
  2. BÁRTLOVÁ, Tereza. In: HALAS, Zdeněk. Archimédés. Několik pohledů do jeho života a díla. Praha: Matfyzpress, 2012. Dostupné online. ISBN 978-80-7378-228-3.
  3. SÝKOROVÁ, Irena. Pellova rovnice v indické matematice. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. 2011, roč. 56, čís. 1. Dostupné online. ISSN 0032-2423. 
  4. ŠOLCOVÁ, Alena. D’Artagnan mezi matematiky - pocta Pierru Fermatovi k 400. výročí narození. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. 2001, roč. 46, čís. 4. Dostupné online. ISSN 0032-2423. 

Literatura[editovat | editovat zdroj]