Möbiova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Prvních padesát hodnot Möbiovy funkce

Möbiova funkce značená μ(n) je důležitá multiplikativní funkce z teorie čísel. Německý matematik August Ferdinand Möbius ji zavedl v roce 1832.

Definice[editovat | editovat zdroj]

μ(n) je definována pro všechna kladná celá čísla n a nabývá hodnot z množiny {−1, 0, 1} v závislosti na prvočíselném rozkladu n a to takto:

  • μ(n) = 1 pokud je n bezčtvercové celé číslo se sudým počtem navzájem různých prvočíselných dělitelů.
  • μ(n) = −1 pokud je n bezčtvercové s lichým počtem navzájem různých prvočíselných dělitelů.
  • μ(n) = 0 pokud n není bezčtvercové

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Möbiova funkce je multiplikativní, tedy pokud jsou a a b nesoudělná čísla, pak platí μ(ab) = μ(aμ(b)
  • pokud je n různé od jedné, pak součet hodnot Möbiovy funkce pro všechny kladné dělitele n je roven nule, tedy
\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases}1&\mbox{ pokud } n=1\\
0&\mbox{ pokud } n>1.\end{cases}

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Möbius function na anglické Wikipedii.