L'Hospitalovo pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

L'Hospitalovo pravidlo, které bylo poprvé publikováno matematikem Guillaumem de l'Hôpitalem v jeho knize Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes [1], umožňuje v některých případech vypočítat limitu podílu dvou funkcí. Říká, že limita podílu dvou funkcí, které splňují jisté předpoklady, je rovna limitě podílu derivací těchto funkcí, tj.

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Předpoklady[editovat | editovat zdroj]

Nechť a je buď reálné číslo, nebo \pm \infty (viz rozšířená reálná čísla) a nechť f a g jsou funkce z \R (nebo jeho části) do \R. Věta platí za těchto předpokladů:

Nenulovost[editovat | editovat zdroj]

Funkce g\,\! i g'\,\! musí být nenulové na nějakém okolí čísla a (jinak tvrzení nemá smysl z důvodu dělení nulou). Pokud např. a=+\infty, pak jeho okolím jsou množiny, které obsahují interval (r\,,\,+\infty) pro nějaké r, takže například funkce g(x) = \sin x\,\! předpoklad nesplňuje.

Požadovaný typ limity[editovat | editovat zdroj]

Musí platit jedna z podmínek a) nebo b) [2]:

a) \lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a}g(x) = 0\,\!

b) \lim_{x\to a}g(x) = \pm\infty \,\!

Jinak řečeno, musí být buď obě limity nulové, nebo spodní limita nevlastní. Tyto případy jsou nazývány "limita typu \frac{0}{0}" resp. "limita tvaru \frac{cokoliv}{\pm\infty}".

Existence limity na pravé straně[editovat | editovat zdroj]

Musí existovat vlastní nebo nevlastní limita : \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}. Tento předpoklad je podstatný jen pro to, abychom z neexistence limity podílu derivací nevyvozovali neexistenci limity podílu původních funkcí. Symbolem f'(x)\,\! značíme derivaci funkce f(x)\,\!.

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

L'Hospitalovo pravidlo říká, že za těchto předpokladů existuje limita

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}

a platí

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Tj. limita podílu funkcí se rovná limitě podílu jejich derivací.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Limita \frac{\sin x}{x} v nule[editovat | editovat zdroj]

Chceme vypočítat \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\,\!. Všechny předpoklady jsou splněny; poslední z nich (existenci limity podílu derivací) ověříme takto:

\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1} = \lim_{x\to 0}\cos x = \cos 0 = 1 \,\!, protože funkce kosinus je spojitá na celém \R\,\!.

Pravidlo tedy pro náš případ lze použít a platí \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \,\!.

Limita \frac{x^2-3}{x^5+6} v nekonečnu[editovat | editovat zdroj]

Graf funkce k příkladu.

Chceme vypočítat \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3}{x^5+6}

Máme tedy  f(x) = x^2-3, g(x) = x^5+6 .

Všechny předpoklady kromě posledního jsou splněny. Poslední není na první pohled zřejmý - je nutno ověřit existenci  \lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{5x^4}.

Toto ověření lze provést další aplikací L'Hopitalova pravidla na tuto novou limitu: Limita podílu druhých derivací je \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{20x^3} = 0.

Z toho plyne, že jsou splněny předpoklady druhé aplikace L'Hopitalova pravidla, proto platí  \lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{5x^4} = 0. Teprve z toho plyne, že můžeme L'Hopitalovo pravidlo použít i na náš původní příklad a platí \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3}{x^5+6} = 0.

Význam předpokladů[editovat | editovat zdroj]

V následujících případech tvrzení L'Hospitalova pravidla neplatí, protože nejsou splněny předpoklady.

Typ limity[editovat | editovat zdroj]

Pravidlo platí jen pro limity typu \frac{0}{0} či \frac{\pm\infty}{\pm\infty}. Příkladem funkcí, které tento předpoklad nesplňují, je f(x) = x+2, \,g(x) = x+1. Limita jejich podílu v nule je rovna dvěma, ačkoli dle L'Hospitalova pravidla by vyšla jedna.

Existence limity podílu derivací[editovat | editovat zdroj]

Pokud neexistuje \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}, nelze z toho usuzovat, že neexistuje ani \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} . Příkladem jsou funkce f(x) = x^2\sin\frac 1{x^2}\,,\,\,g(x) = x\, \,\! pro \,a=0\,\!.

Pro ně platí \frac{f'(x)}{g'(x)} 
                  = 2x\sin\frac 1{x^2}\,+\, \frac{-2}{x}\cos(\frac 1{x^2}) \,\!

První člen jde k nule, ale druhý v blízkosti nuly osciluje mezi funkcí \frac 2x\,\! a \frac {-2}x \,\!. Proto neexistuje limita podílu derivací, ale původní limita je rovna nule - což plyne z toho, že pro každé x leží \frac{f(x)}{g(x)} v intervalu   < -|x| \,,\, |x| > \,\!.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. l’Hospital, Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, strany 145–146
  2. http://math.feld.cvut.cz/mt/txta/2/txc3aa2f.htm

.