Kalibrační invariance

Kalibrační invariance ve fyzice označuje invarianci teorie pole vůči kalibrační transformaci. Jde o určitý druh symetrie. Kalibrační invariance se poprvé objevila v klasické Maxwellově teorii elektromagnetismu, ukázala se však jako daleko obecnější koncept a podstatný nástroj při sjednocování popisu interakcí v rámci kvantové teorie pole. Stojí tak u základu teorie elektroslabých interakcí (což je kalibračně invariantní teorie s grupou symetrií SU(2)×U(1)) a standardního modelu (grupa symetrií SU(3)×SU(2)×U(1)).

V následujícím popisu budeme pro názornost používat příklad skalárního komplexního pole $\Phi (x)$ s Lagrangiánem (resp. Lagrangeovskou hustotou)

$\ L=(\partial _{\mu }\Phi ^{*})(\partial ^{\mu }\Phi )-m^{2}\Phi ^{*}\Phi ={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi _{a}\partial ^{\mu }\phi ^{a}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{a}\phi ^{a}$

kde

$\Phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\phi _{1}+i\phi _{2})$ (a=1,2).

Globální a lokální transformace

Obecně, kalibrační transformace může být buď globální nebo lokální. Příkladem globální transformace může být

$\Phi (x)\mapsto e^{i\lambda }\Phi (x)$

$\Phi (x)^{*}\mapsto e^{-i\lambda }\Phi (x)^{*}$

kde λ je konstanta ($e^{i\lambda }\ \epsilon \ U(1))$, U(1) je Lieova grupa).

Lokální U(1) kalibrační transformaci

$\Phi \rightarrow \Phi '=e^{ie\lambda (x)}\Phi$

vymáha

$\ L=(D_{\mu }\Phi )^{*}(D^{\mu }\Phi )-m^{2}\Phi ^{*}\Phi$

kde $D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu }$ Lokální transformaci

$A_{\mu }\rightarrow A'_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\lambda (\mathbf {x} ,t)$

je Kalibrační transformaci $A_{\mu }$. Tenzor intenzity elektromagnetického pole $F_{\mu \nu }$ je invariant

$F_{\mu \nu }\rightarrow F'_{\mu \nu }$