Izolovaný ordinál

Izolovaný ordinál je matematický pojem z teorie množin. Označuje ordinální číslo, které má předchůdce nebo je rovno prázdné množině.

Formální definice

Ordinální číslo $\alpha \,\!$ je izolované, pokud
$\alpha =0\vee (\exists \beta \in On)(\beta \cup \{\beta \}=\alpha )$ ,
kde $On$ označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady

Každý konečný ordinál (tj. každé přirozené číslo) je izolovaný. Stačí si uvědomit, že

$1=0\cup \{0\}=\{0\}\,\!$
$2=1\cup \{1\}=\{0,1\}\,\!$
$3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}\,\!$
$\ldots \,\!$

Existují ale i nekonečné izolované ordinály, například označíme-li jako $\omega \,\!$ množinu přirozených čísel, která je rovněž ordinál, pak
$\omega +1=\{0,1,2,\ldots ,\omega \}=\omega \cup \{\omega \}\,\!$ má předchůdce $\omega \,\!$ .

Podobně má $\omega +2\,\!$ předchůdce $\omega +1\,\!$ , takže se také jedná o izolovaný ordinál. Naproti tomu existují i ordinály, které nejsou izolované. Takovým ordinálům říkáme limitní. Nejmenším takovým ordinálem je právě $\omega \,\!$ , ale existují i větší limitní ordinály – například $\omega .2\,\!$ , $\omega ^{2}\,\!$ nebo $(\omega ^{\omega })^{\omega }\,\!$ .

Použití

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Související články