Floydův-Warshallův algoritmus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Floydův–Warshallův algoritmus (známý také jako Royův–Floydův algoritmus) je počítačový algoritmus používaný pro nalezení nejkratších cest v orientovaném grafu s hranami různých obecných (kladných) vah. Jediný průchod algoritmu spočte nejkratší cestu mezi všemi dvojicemi vrcholů. Floydův–Warshallův algoritmus je typickým příkladem dynamického programování. Algoritmus poprvé popsali Robert Floyd a Stephen Warshall.

Algoritmus[editovat | editovat zdroj]

Floydův–Warshallův algoritmus porovnává všechny možné cesty v grafu mezi všemi dvojicemi vrcholů. Pracuje tak, že postupně vylepšuje odhad na nejkratší cestu do té doby, než je zřejmé, že odhad je optimální projde všechny možnosti.

Mějme graf s vrcholy očíslovanými 1 až N. Dále mějme funkci , která vrací nejkratší možnou cestu z do s použitím pouze vrcholů 1 až jako mezivrcholů. Pomocí této funkce chceme najít nejkratší cestu mezi všemi dvojicemi a s použitím mezivrcholů 1 až .

Na nejkratší cestu máme dva kandidáty: buď je nejkratší cesta v množině vrcholů , nebo existuje cesta jdoucí z do , a poté z do , která je lepší (kratší) než ta stávající. Nejlepší cesta z do používající pouze vrcholy 1 až je definována funkcí . Délka nejlepší cesty z do a poté do je pak zřejmě součet délek nejkratší cesty z do a nejkratší cesty z do .

Funkci pak můžeme rekurzivně definovat takto:

Algoritmus nejprve spočte pro všechny dvojice i a j, poté pro všechny dvojice spočte atp. dokud nedosáhne k = N, kdy jsme našli nejkratší cesty pro všechny dvojice vrcholů a v grafu . Asymptotická časová složitost algoritmu je .

Při počítání k-té úrovně můžeme přepsat informace vytvořené (k - 1)-ní úrovní, což je optimalizace. Algoritmus v obou případech používá kvadratické množství paměti vůči počtu vrcholů grafu. Asymptotická paměťová složitost je tedy .

Pseudokód[editovat | editovat zdroj]

 1 // Předpokládáme funkci cenaHrany(i, j) vracející cenu hrany z i do j
 2 // (pokud hrana neexistuje, cenaHrany = nekonečno)
 3 // Dále, N je počet vrcholů a cenaHrany(i, i) = 0 
 4 
 5 int cesta[][]; // Dvourozměrné pole. V každém kroku algoritmu je cesta[i][j] 
 6                // nejkratší cesta z i do j použitím 1. až k-té hrany.
 7                // Všechny hrany cesta[i][j] jsou inicializovány funkcí 
 8                // cenaHrany(i,j);            
 9
10 procedure FloydWarshall ()
11    for  to 
12    begin
13       foreach  in 
14       begin
15          cesta[i][j] = min(cesta[i][j], cesta[i][k] + cesta[k][j]);
16       end
17    end
18 endproc

Implementace[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Floyd-Warshall algorithm na anglické Wikipedii.